抽象函数的对称性验证

Posted 2021-01-13 wanghai0666

抽象函数的性质往往不太好想，所以举个例子，加以验证。

作为学生，不需要知道那么严谨的逻辑证明，只要会用结论就行了。

1、函数的对称性图像说明：

轴对称函数所举的例子：(f(x)=cfrac{1}{2}(x-2)^2)；

中心对称函数所举的例子：(f(x)=(x-1)^3)；

2、函数的对称性的逻辑证明：

①、函数(f(x))的对称轴为直线(x=2)的充要条件是函数(f(x))满足(f(x)=f(4-x))。

充分性：函数(f(x))满足(f(x)=f(4-x))，取其上任意一点((x_0，y_0))，

则有(y_0=f(x_0))，则有(f(x_0)=f(4-x_0)=y_0)，

说明点((x_0，y_0))和点((4-x_0，y_0))都在函数图像上，

而这两个点关于直线(x=cfrac{x_0+(4-x_0)}{2}=2)对称，

又由于点的任意性可知，函数关于直线(x=2)对称；

必要性：函数(f(x))的对称轴为直线(x=2)，

取其上任意一点((x_0，y_0))，则有(y_0=f(x_0))，

而点((x_0，y_0))关于直线(x=2)的对称点是((4-x_0，y_0))，

故有(y_0=f(x_0)=f(4-x_0))，即(f(x_0)=f(4-x_0))，

又由于点的任意性可知，函数必然满足(f(x)=f(4-x))。[证毕]

使用方法：
若函数$f(x)$满足$f(x)=f(2-x)$，
则是关于直线$x=cfrac{x+(2-x)}{2}=1$ 对称的；
自然若函数$f(x)$满足$f(1-x)=f(1+x)$，
则也是关于直线$x=cfrac{(1-x)+(1+x)}{2}=1$ 对称的；
其实表达式$f(x)=f(2-x)$和$f(1-x)=f(1+x)$刻画的是同一回事，
用$1-x$替换$f(x)=f(2-x)$中的$x$，就能得到$f(1-x)=f(1+x)$。
用此理论，我们还可以主动刻画函数的对称性，
其一用图像刻画，其二用数学语言表达为$f(0.5-x)=f(1.5+x)$；

②、函数(f(x))的对称中心是((1，1))的充要条件是函数(f(x))满足(f(x)+f(2-x)=2)。

充分性：函数(f(x))满足(f(x)+f(2-x)=2)，取其上任意一点((x_0，y_0))，

则必有(y_0=f(x_0))，

又由于点((x_0，y_0))关于点((1，1))的对称点为((2-x_0，2-y_0))，

(f(x_0)+f(2-x_0)=2)，得到(y_0+f(2-x_0)=2)，

即(2-y_0=f(2-x_0))，说明点((2-x_0，2-y_0))也在函数图像上，

又由于点的任意性可知，函数图像上任意点关于点((1，1))的对称点也在函数图像上；

必要性：函数(f(x))的对称中心为点((1，1))，

取其上任意一点((x_0，y_0))，其在图像上，则有(y_0=f(x_0))，

而其对称点((2-x_0，2-y_0))也在图像上，故有(2-y_0=f(2-x_0))，

即(2-f(x_0)=f(2-x_0))，即(f(x_0)+f(2-x_0)=2)；

又由于点的任意性可知，函数图像上任意点都满足(f(x)+f(2-x)=2)；[证毕]

使用方法：

若函数(f(x))满足(f(x)+f(2-x)=4)，则其关于点成中心对称，

对称中心的坐标((x_0，y_0))这样求解，

(x_0=cfrac{x+(2-x)}{2}=1)，(y_0=cfrac{f(x)+(2-x)}{2}=2)，

即对称中心为((1，2))；

自然若函数(f(x))满足(f(-x)+f(2+x)=2)，则也是关于点((1，1))对称的，

同理我们也可以这样刻画一个函数关于点((1，1))对称。

我们就说函数满足条件(f(0.5-x)+f(1.5+x)=2)或者(f(3-x)+f(-1+x)=2)；

【2017全国卷1文科第9题高考真题】

已知函数(f(x)=lnx+ln(2-x))，则

A、(f(x))在((0，2))单调递增 (hspace{0.5cm}) B、(f(x))在((0，2))单调递减 (hspace{0.5cm})
C、(y=f(x))的图像关于直线(x=1)对称 (hspace{0.5cm}) D、(y=f(x))的图像关于点((1，0))对称

分析：由于函数(f(x))是复合函数，定义域要使(x>0，2-x>0)，

即定义域是((0，2))，又(f(x)=ln[x(2-x)]=ln[-(x-1)^2+1])，

则由复合函数的单调性法则可知，

在((0，1))上单增，在((1，2))上单减，故排除A，B；

若函数(y=f(x))关于点((1，0))对称，则函数(f(x))必然满足关系：(f(x)+f(2-x)=0)；

若函数(y=f(x))关于直线(x=1)对称，则函数(f(x))必然满足关系：(f(x)=f(2-x))；
课件验证

接下来我们用上述的结论来验证，

由于(f(x)=lnx+ln(2-x))，(f(2-x)=ln(2-x)+ln(2-(2-x))=ln(2-x)+lnx)，

即满足(f(x)=f(2-x))，故函数(y=f(x))的图像关于直线(x=1)对称，选C；

再来验证D，发现(f(x)+f(2-x)=2[lnx+ln(2-x)] eq 0)，D选项不满足。

(fbox{例1})
已知函数(f(x)=lg(4x-x^2))，则（）

A、(f(x))在((0，4))上单调递增 (hspace{2cm}) B、(f(x))在((0，4))上单调递减 (hspace{2cm})

C、(y=f(x))的图像关于直线(x=2)对称 (hspace{2cm}) D、 (y=f(x))的图像关于点((2，0))对称

分析：令内函数(g(x)=4x-x^2>0)，得到定义域((0，4))，

又(g(x)=-(x-2)^2+4)，故内函数在((0，2])单减，在([2，4))单增，

外函数只有单调递增，故复合函数(f(x))在((0，2])单减，在([2，4))单增，

故排除A、B；

要验证C选项，

只需要利用(y=f(x))的图像关于直线(x=2)对称的充要条件(f(x)=f(4-x))验证即可，

而(f(4-x)=lg[4(4-x)-(4-x)^2])

(=lg(16-4x-16+8x-x^2))

(=lg(4x-x^2)=f(x))，故选C。

若要验证D选项，

只需要利用(y=f(x))的图像关于点((2，0))对称的充要条件(f(x)+f(4-x)=0)验证即可。