经过了几天的学习和做题，我利用刘汝佳书上的网络流算法模板完成了HihoCoder上的几个网络流算法，HihoCoder可能还会继续更新网络流算法，所以我也会接着总结。
这个主要是对网络流算法的建模做分析和理解，不具体分析网络流算法，网络流算法会单独总结。
网络流一·Ford-Fulkerson算法
本题没有建模，就是标准的网络最大流求解，将图建完后直接应用最大流算法即可解决。但在此记录几点注意的地方：
所谓的“残留网络”就是为了让程序在遍历时可以会推所添加的记录流量差的反向边。比如 a-->b 容量为10，流量为3，其意义为从a到b已经走了3个流量，还有7个流量可以走过去，3个流量可以再退回来。
增广路径就是找从 s 到 t 的能通过的路径，所谓能通过就是还存在未满流的边可以再走一些流量。这类增广路径算法的思想就是不断地在“残留网络”上找“增广路径”，然后修改残留网络上的流量，直到不通为止。
代码如下，为刘汝佳书《算法竞赛入门经典》中一个模板：
const int maxn = 505;
const int INF = 0x7fffffff;
struct Edge {
int from, to, cap, flow;
Edge(int u, int v, int c, int f) : from(u), to(v), cap(c), flow(f) {}
};
struct EdmondsKarp {
int n, m;
vector<Edge> edges;
vector<int> G[maxn];
int a[maxn];
int p[maxn];
void init(int n) {
for (int i = 0; i < n; ++i) G[i].clear();
edges.clear();
}
void AddEdge(int from, int to, int cap) {
edges.push_back(Edge(from, to, cap, 0));
edges.push_back(Edge(to, from, 0, 0)); // reverse edge
m = edges.size();
G[from].push_back(m - 2);
G[to].push_back(m - 1);
}
int Maxflow(int s, int t) {
int flow = 0;
for (;;) {
memset(a, 0, sizeof(a));
queue<int> Q;
Q.push(s);
a[s] = INF;
while (!Q.empty()) {
int x = Q.front(); Q.pop();
for (int i = 0; i < G[x].size(); ++i) {
Edge &e = edges[G[x][i]];
if (!a[e.to] && e.cap > e.flow) {
p[e.to] = G[x][i];
a[e.to] = min(a[x], e.cap - e.flow);
Q.push(e.to);
}
}
if (a[t]) break;
}
if (!a[t]) break;
for (int u = t; u != s; u = edges[p[u]].from) {
edges[p[u]].flow += a[t];
edges[p[u] ^ 1].flow -= a[t];
}
flow += a[t];
}
return flow;
}
};
int main()
{
#ifdef LOCAL
freopen("input.txt", "r", stdin);
// freopen("sorted.txt", "w", stdout);
#endif
int N, M, u, v, c;
cin >> N >> M;
EdmondsKarp ek;
// construct the graph
ek.init(N);
for (int i = 0; i < M; ++i) {
cin >> u >> v >> c;
ek.AddEdge(u, v, c);
}
cout << ek.Maxflow(1, N) << endl;
return 0;
}
网络流二·最大流最小割定理
这部分主要是证明最小割等于最大流，证明详细步骤见上面题目，这里记录下主要步骤：
f(S, T) 等于从 s 出来的流，等于当前的网络流量 f。f(S, T) 表示割 (S, T)的净流量。
对于网络的任何一个流，一定小于等于任何一个割的容量（f(S, T) <= C(S, T)
对于一个网络 G=(V, E)，有源点 s 汇点 t，以下三个等价：
1、f 是图 G 的最大流
2、残留网络不存在增广路
3、对于G的一个割(S, T)，此时 f = C(S, T)
证明：
1=>2：假设 f 是图 G 的最大流，如果残留网络存在增广路 p，流量为 fp，那么有流 f‘ = f + fp > f ，与 f 是最大流矛盾。
2=>3：对于任意的 u S v T，有 f(u, v) = c(u, v)，即 \[\sum f(u, v)=\sum c(u, v) = f(S, T) = C(S, T) = f\]
这样，找不到增广路的时候求得的一定是最大流，最大流等于最小割。
另外，本题要求求出最小割集合 S，在割 (S, T) 中，计算出的残留网络从 s 开始遍历，所能遍历到的点即为 S 集合，因为求得的最小割就是最大流，最大流中残留网络不存在增广路径，也就是说从 s 没法走到 t，故从 s 开始遍历，所得到的点的集合就是 S。
const int maxn = 505;
const int INF = 0x7FFFFFFF;
struct Edge {
int from, to, cap, flow;
Edge(int u, int v, int c, int f) : from(u), to(v), cap(c), flow(f) {}
};
bool used[maxn];
std::vector<int> rst;
struct EdmondsKarp {
int n, m;
vector<Edge> edges;
vector<int> G[maxn];
int a[maxn];
int p[maxn];
void init(int n) {
for (int i = 0; i < n; ++i) G[i].clear();
edges.clear();
}
void AddEdge(int from, int to, int cap) {
edges.push_back(Edge(from, to, cap, 0));
edges.push_back(Edge(to, from, 0, 0)); // reverse edge
m = edges.size();
G[from].push_back(m - 2);
G[to].push_back(m - 1);
}
int Maxflow(int s, int t) {
int flow = 0;
for (;;) {
memset(a, 0, sizeof(a));
queue<int> Q;
Q.push(s);
a[s] = INF;
while (!Q.empty()) {
int x = Q.front(); Q.pop();
for (int i = 0; i < G[x].size(); ++i) {
Edge &e = edges[G[x][i]];
if (!a[e.to] && e.cap > e.flow) {
p[e.to] = G[x][i];
a[e.to] = min(a[x], e.cap - e.flow);
Q.push(e.to);
}
}
if (a[t]) break;
}
if (!a[t]) break;
for (int u = t; u != s; u = edges[p[u]].from) {
edges[p[u]].flow += a[t];
edges[p[u] ^ 1].flow -= a[t];
}
flow += a[t];
}
return flow;
}
void GetMinCutSetS(int s) {
rst.push_back(s); used[s] = true;
for (int i = 0; i < G[s].size(); ++i) {
Edge &e = edges[G[s][i]];
if (!used[e.to] && e.flow != e.cap) {
GetMinCutSetS(e.to);
}
}
}
};
int main(int argc, char** argv) {
#ifdef LOCAL
freopen("input.txt", "r", stdin);
freopen("output.txt", "w", stdout);
#endif
// 2 <= N <= 500, 1 <= M <= 20000
int N, M; cin >> N >> M;
EdmondsKarp ek;
ek.init(N);
// construct the graph
int u, v, c;
for (int i = 0; i < M; ++i) {
cin >> u >> v >> c;
ek.AddEdge(u, v, c);
}
int flow = ek.Maxflow(1, N);
ek.GetMinCutSetS(1);
std::cout << flow << " " << rst.size() << std::endl;
for (int i = 0; i < rst.size() - 1; ++i) {
cout << rst[i] << " ";
}
std::cout << rst[rst.size() - 1] << std::endl;
return 0;
}说明：代码中的 GetMinCutSetS 就是一个 DFS 方法，从一个点开始遍历得到最终的 S 集合，没什么难的。结果保存在一个 vector 中。
网络流三·二分图多重匹配
二分图的多重匹配，其实质就是需要规定 X 集中的点可以使用多少次，Y 中的点可以重用多少次，如果 X 中的某个点的流量使用完毕，则这条边满流，则不可再次使用。从源点 s 指向 X 集中的边的容量则规定了这个点能用多少次！Y 集中的指向汇点 t 的边的容量也是如此含义。所以，如果 Y 集中的容量没有用光，则说明当前的流（匹配）还没有达到所期望的要求。
这题使用了CheckMaxMatch 用来判断指向汇点的边是否满流。
const int maxn = 1005;
const int INF = 0x7FFFFFFF;
struct Edge {
int from, to, cap, flow;
Edge(int u, int v, int c, int f) : from(u), to(v), cap(c), flow(f) {}
};
// 求最小割所用到的两个
// 求最小割点的思路为在原来求最大流的残留网络上从 s 点开始 DFS，所有能遍历到的点都是 S 集合里面的，
// 剩余没有遍历到的点就是 T 集合里的点。
// bool used[maxn];
// std::vector<int> rst;
struct EdmondsKarp {
int n, m;
vector<Edge> edges;
vector<int> G[maxn];
int a[maxn];
int p[maxn];
void init(int n) {
for (int i = 0; i < n; ++i) G[i].clear();
edges.clear();
}
void AddEdge(int from, int to, int cap) {
edges.push_back(Edge(from, to, cap, 0));
edges.push_back(Edge(to, from, 0, 0)); // reverse edge
m = edges.size();
G[from].push_back(m - 2);
G[to].push_back(m - 1);
}
int Maxflow(int s, int t) {
int flow = 0;
for (;;) {
memset(a, 0, sizeof(a));
queue<int> Q;
Q.push(s);
a[s] = INF;
while (!Q.empty()) {
int x = Q.front(); Q.pop();
for (int i = 0; i < G[x].size(); ++i) {
Edge &e = edges[G[x][i]];
if (!a[e.to] && e.cap > e.flow) {
p[e.to] = G[x][i];
a[e.to] = min(a[x], e.cap - e.flow);
Q.push(e.to);
}
}
if (a[t]) break;
}
if (!a[t]) break;
for (int u = t; u != s; u = edges[p[u]].from) {
edges[p[u]].flow += a[t];
edges[p[u] ^ 1].flow -= a[t];
}
flow += a[t];
}
return flow;
}
bool CheckMaxMatch(int N, int M) {
for (int i = 1; i <= M; ++i) {
for (int j = 0; j < G[N + i].size(); ++j) {
Edge &e = edges[G[N + i][j]];
if (e.flow != e.cap && e.flow > 0) { return false; }
}
}
return true;
}
/*
// 遍历求网络的最小割中的 S 集合点，结果储存在上面的 vector<int> rst 中；
void GetMinCutSetS(int s) {
rst.push_back(s); used[s] = true;
for (int i = 0; i < G[s].size(); ++i) {
Edge &e = edges[G[s][i]];
if (!used[e.to] && e.flow != e.cap) {
GetMinCutSetS(e.to);
}
}
}
*/
};
int main(int argc, char** argv) {
#ifdef LOCAL
freopen("input.txt", "r", stdin);
freopen("output.txt", "w", stdout);
#endif
int T; cin >> T;
while (T--) {
int N, M; cin >> N >> M;
EdmondsKarp ek;
ek.init(N + M + 2);
int m[maxn + 5], a[maxn + 5], b[maxn + 5];
for (int i = 0; i < M; ++i) cin >> m[i];
for (int i = 0; i < N; ++i) {
cin >> a[i] >> b[i];
int tmprecv;
for (int j = 0; j < b[i]; ++j) {
cin >> tmprecv;
// X -> Y
ek.AddEdge(i + 1, tmprecv + N, 1);
}
}
for (int i = 1; i <= N; ++i) {
ek.AddEdge(0, i, a[i - 1]);
}
for (int i = 1; i <= M; ++i) {
ek.AddEdge(N + i, N + M + 1, m[i - 1]);
}
ek.Maxflow(0, N + M + 1);
cout << (ek.CheckMaxMatch(N, M) ? "Yes" : "No") << endl;
}
return 0;
}网络流四·最小路径覆盖
建图的方法为：
1、添加源点 s 和汇点 t。
2、拆点，将每个点拆成两个点，比如 a 拆成 a1, a2，b 拆成 b1, b2。
3、从源点向 X 集合中每个点添加一条容量为 1 的有向边。
4、从 Y 集合向汇点中每个点添加一条容量为 1 的有向边。
5、如果 a -> b 有边，则从 a1 向 b2 添加一条容量为 1 的有向边。
最小路径覆盖就是总点数 N - 最小割。证明在我学会之前暂时不写。
推荐去看《计算机算法设计与分析》中的网络流 24 题中的魔术球问题，这是一道很隐晦的利用网络流的最小路径覆盖问题，很经典。
const int maxn = 1005;
const int INF = 0x7FFFFFFF;
struct Edge {
int from, to, cap, flow;
Edge(int u, int v, int c, int f) : from(u), to(v), cap(c), flow(f) {}
};
// 求最小割所用到的两个
// 求最小割点的思路为在原来求最大流的残留网络上从 s 点开始 DFS，所有能遍历到的点都是 S 集合里面的，
// 剩余没有遍历到的点就是 T 集合里的点。
// bool used[maxn];
// std::vector<int> rst;
struct EdmondsKarp {
int n, m;
vector<Edge> edges;
vector<int> G[maxn];
int a[maxn];
int p[maxn];
void init(int n) {
for (int i = 0; i < n; ++i) G[i].clear();
edges.clear();
}
void AddEdge(int from, int to, int cap) {
edges.push_back(Edge(from, to, cap, 0));
edges.push_back(Edge(to, from, 0, 0)); // reverse edge
m = edges.size();
G[from].push_back(m - 2);
G[to].push_back(m - 1);
}
int Maxflow(int s, int t) {
int flow = 0;
for (;;) {
memset(a, 0, sizeof(a));
queue<int> Q;
Q.push(s);
a[s] = INF;
while (!Q.empty()) {
int x = Q.front(); Q.pop();
for (int i = 0; i < G[x].size(); ++i) {
Edge &e = edges[G[x][i]];
if (!a[e.to] && e.cap > e.flow) {
p[e.to] = G[x][i];
a[e.to] = min(a[x], e.cap - e.flow);
Q.push(e.to);
}
}
if (a[t]) break;
}
if (!a[t]) break;
for (int u = t; u != s; u = edges[p[u]].from) {
edges[p[u]].flow += a[t];
edges[p[u] ^ 1].flow -= a[t];
}
flow += a[t];
}
return flow;
}
};
int main(int argc, char** argv) {
#ifdef LOCAL
freopen("input.txt", "r", stdin);
freopen("output.txt", "w", stdout);
#endif
int N, M; cin >> N >> M;
EdmondsKarp edk;
edk.init(N + N);
int u, v;
for (int i = 1; i <= M; ++i) {
cin >> u >> v;
edk.AddEdge(u, v + N, 1);
}
for (int i = 1; i <= N; ++i) {
edk.AddEdge(0, i, 1);
edk.AddEdge(N + i, N + N + 1, 1);
}
cout << N - edk.Maxflow(0, N + N + 1) << endl;
return 0;
}网络流五·最大权闭合子图
最大权闭合子图：目前就我的理解是用来建模求解一些有“收入”以及“支出”并且求最后最大的收益类问题的。建模方法如下：
1、添加源点 s 和汇点 t 。
2、从源点 s 向 X 集合中每个点连一条容量为该点“收入”的有向边。
3、从 Y 集合中每个点向汇点 t 连一条容量为该点“支出”的有向边。
4、若 X 和 Y 集合中的点有依赖关系，则从 X 集合向 Y 集合每个关系添加一条容量为无限大的有向边。
最终的结果为所有收入之和 - 最小割。
const int maxn = 1005;
const int INF = 0x7FFFFFFF;
struct Edge {
int from, to, cap, flow;
Edge(int u, int v, int c, int f) : from(u), to(v), cap(c), flow(f) {}
};
// 求最小割所用到的两个
// 求最小割点的思路为在原来求最大流的残留网络上从 s 点开始 DFS，所有能遍历到的点都是 S 集合里面的，
// 剩余没有遍历到的点就是 T 集合里的点。
// bool used[maxn];
// std::vector<int> rst;
struct EdmondsKarp {
int n, m;
vector<Edge> edges;
vector<int> G[maxn];
int a[maxn];
int p[maxn];
void init(int n) {
for (int i = 0; i < n; ++i) G[i].clear();
edges.clear();
}
void AddEdge(int from, int to, int cap) {
edges.push_back(Edge(from, to, cap, 0));
edges.push_back(Edge(to, from, 0, 0)); // reverse edge
m = edges.size();
G[from].push_back(m - 2);
G[to].push_back(m - 1);
}
int Maxflow(int s, int t) {
int flow = 0;
for (;;) {
memset(a, 0, sizeof(a));
queue<int> Q;
Q.push(s);
a[s] = INF;
while (!Q.empty()) {
int x = Q.front(); Q.pop();
for (int i = 0; i < G[x].size(); ++i) {
Edge &e = edges[G[x][i]];
if (!a[e.to] && e.cap > e.flow) {
p[e.to] = G[x][i];
a[e.to] = min(a[x], e.cap - e.flow);
Q.push(e.to);
}
}
if (a[t]) break;
}
if (!a[t]) break;
for (int u = t; u != s; u = edges[p[u]].from) {
edges[p[u]].flow += a[t];
edges[p[u] ^ 1].flow -= a[t];
}
flow += a[t];
}
return flow;
}
bool CheckMaxMatch(int N, int M) {
for (int i = 1; i <= M; ++i) {
for (int j = 0; j < G[N + i].size(); ++j) {
Edge &e = edges[G[N + i][j]];
if (e.flow != e.cap && e.flow > 0) { return false; }
}
}
return true;
}
/*
// 遍历求网络的最小割中的 S 集合点，结果储存在上面的 vector<int> rst 中；
void GetMinCutSetS(int s) {
rst.push_back(s); used[s] = true;
for (int i = 0; i < G[s].size(); ++i) {
Edge &e = edges[G[s][i]];
if (!used[e.to] && e.flow != e.cap) {
GetMinCutSetS(e.to);
}
}
}
*/
};
int main(int argc, char** argv) {
#ifdef LOCAL
freopen("input.txt", "r", stdin);
freopen("output.txt", "w", stdout);
#endif
int N, M; cin >> N >> M;
int b[maxn], sum = 0;
EdmondsKarp ek;
ek.init(N + M + 2);
// 第i个数表示邀请编号为i的学生需要花费的活跃值b[i]
for (int i = 1; i <= M; ++i) cin >> b[i];
for (int i = 1; i <= N; ++i) {
int a, k, recvtmp; cin >> a >> k;
sum += a;
ek.AddEdge(0, i, a);
for (int j = 1; j <= k; ++j) {
cin >> recvtmp;
ek.AddEdge(i, recvtmp + N, INF);
}
}
for (int i = 1; i <= M; ++i) {
ek.AddEdge(i + N, N + M + 1, b[i]);
}
cout << sum - ek.Maxflow(0, N + M + 1) << endl;
return 0;
}