扩展欧几里得算法详解

Posted 2021-01-13 katoukatou

本篇将附上扩展欧几里得算法的思想与推导;

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对于一个方程(a*x+b*y=gcd(a,b))来说,我们可以做如下的推导:

设有(a*x_1+b*y_1=gcd(a,b));

同时我们有(b*x_2+(a\%b)*y_2=gcd(b,a\%b));

对于这个方程组,我们希望知道的是(x_1,x_2,y_1,y_2)之间的关系,这样我们才可以递归解决这个问题;

我们观察(b*x_2+(a%b)*y_2)这个式子,我们可以将((a\%b))写作((a-lfloorfrac{a}{b} floor*b)),将括号打开常数(a,b)合并,合并之后的结果为(a*y_2+b*(x_2-lfloorfrac{a}{b} floor*y_2)))

由于欧几里得算法的原理(gcd(a,b)==gcd(b,a%b)),我们将两式子联立,对比系数即可得到(x_1=y_2,y_1=x_2-lfloorfrac{a}{b} floor*y_2);

这个递归的边界是什么呢?我们知道,当朴素欧几里得到达边界时,(return gcd(a,0)=a),那么边界条件就是对(a*x_0+b*y_0=a)求解,很显然,此时(x_0=1,y_0=0);

当我们递归求出了一个方程的特解时,如何求出这个方程的通解呢?

方程(a*x+b*y=gcd(a,b))中,如果将x加上一个常数(k_1,y)减去一个常数(k_2),仍然保持原方程成立,那么(x+k_1,y-k-2)就是方程的一个新解,这个k应该如何选择呢?

实际上很简单,(a*(x+k_1)+b*(y+k_2)=gcd(a,b)),打开括号,(a*x+a*k_1+b*y-b*k_2=gcd(a,b)),我们保证原方程成立,就需要(a*k_1==b*k_2),那么显然(k_1=b,k_2=a)是一种合理的情况,但是这样是无法包含所有整数解的,因为我们加上的这个值并非是最小值.

那我们应该加上什么值才行呢?我们发现当(a*k_1==b*k_2=t*lcm(a,b))可以保证得到所有解,于是每次寻找解就可以分别在(x)加上(frac{b}{gcd(a,b)},在y减去frac{a}{gcd(a,b)})就可以了

对于方程(a*x+b*y=c)我们又该如何求解?我们发现如果((c%gcd(a,b)!=0))那么这个方程是无解的,而如果(gcd(a,b)*t==c),我们就可以按上面的方法求解之后对我们的解乘上一个(t(t=frac{c}{gcd(a,b)}))

(code:)

int exgcd(int a,int b,int &x1,int &y1)
{
    if(!b)
    {
        x1=1,y1=0;
        return a;
    }
    int x2,y2;
    int d=exgcd(b,a%b,x2,y2);
    x1=y2,y1=x2-(a/b)*y2;
    return d;
}