Box-Cox变换

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了Box-Cox变换相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

简介

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Box-Cox变换的一般形式为：
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式中
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为经Box-Cox变换后得到的新变量，
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为原始连续因变量，
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为变换参数。以上变换要求原始变量
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取值为正，若取值为负时，可先对所有原始数据同加一个常数
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使其
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为正值，然后再进行以上的变换。对不同的
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所作的变换不同。在
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时该变换为对数变换，
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时为倒数变换，而在
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时为平方根变换。Box-Cox变换中参数
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的估计有两种方法：(1)最大似然估计；(2)Bayes方法。通过求解
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值，就可以确定具体采用哪种变换形式。

变换过程

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Box-Cox变换是对回归因变量Y的如下变换：
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在这里
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是一个待定变换参数。对于不同的
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，所作的变换也不相同，所以Box-Cox变换是一族变换，它包括了平方根变换(
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)，对数变换(
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)和倒数变换(
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)等常用变换，对因变量的n个观测值
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，应用上述变换，可得变换后的向量
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我们要确定变换参数
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，使得
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满足
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即要求通过因变量的变换，使得变换过的向量
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与回归自变量具有线性相依关系，误差也服从正态分布．误差各分量是等方差且相互独立，故Box-Cox变换是通过参数
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的适当选择。达到对原来数据的“综合治理”，使其满足一个正态线性回归模型的所有假设条件。
用极大似然方法来确定
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，由于
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，故对固定的
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，
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和
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的似然函数为
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其中，
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为变换的Jacobi行列式
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当
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固定时，
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是不依赖于参数
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和
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的常数因子，
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的其余部分关于
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和
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求导数，令其等于零，可求得
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和
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的极大似然估计
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残差平方和为
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对应的似然最大值为
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该式为
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的一元函数，通过求它的最大值来确定
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，因为
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是x的单调函数，问题可转化为求
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的最大值，对式(3)求对数，略去与
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无关的常数项，得
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其中，
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式(4)对Box-Cox变换在计算机上实现带来很大的方便，因为我们只要求出残差平方和
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的最小值，就可以求出
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的最大值，虽然很难找出使
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达到最小值的
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的解析表达式，但是对一系列的
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给定值，通过最普通的求最小二乘估计的回归程序，很容易计算出对应的
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，画出
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关于
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的曲线，可在图上近似地找出
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达到最小值的
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。
Box-Cox变换变换的具体步骤如下：
(1)对给定的
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值，计算
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，如果
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，用式(6)计算，否则用式(7)；
(2)利用式(5)计算残差平方和
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；
(3)对一系列的
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值，重复上述步骤，得到相应的残差平方和
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的一串值，以
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为横轴，作出相应的曲线，用直观的方法，找出使
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达到最小值的点
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。
(4)利用式(2)，求出
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。

意义

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Box-Cox变换的一个显著优点是通过求变换参数
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来确定变换形式，而这个过程完全基于数据本身而无须任何先验信息，这无疑比凭经验或通过尝试而选用对数、平方根等变换方式要客观和精确。
Box-Cox变换的目的是为了让数据满足线性模型的基本假定，即线性、正态性及方差齐性，然而经Box-Cox变换后数据是否同时满足了以上假定，仍需要考察验证 [2]  。

以上是关于Box-Cox变换的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

如何在 R 中使用 Box-Cox 幂变换

在 R 中寻找 Box-Cox 变换的最佳 Lambda

R语言构建回归模型诊断（正态性无效）进行变量变换使用car包中的powerTransform函数对目标变量进行Box-Cox变换（Box–Cox transform to normality)

R box-cox变换 《回归分析与线性统计模型》page100

机器学习基础 - 偏度正态化以及 Box-Cox 变换

结构化数据转换（Box-Cox)