[Luogu4921]情侣？给我烧了！[错位排列]

Posted 2021-01-13 yqgakioi

题意

题意很清楚 滑稽

分析

• 对于每一个询问 (k) ，记 (g(x)) 表示 (x) 对情侣都错开的方案总数，那么答案可以写成如下形式：
  [ {ans}_k= inom{n}{k} imes A_n^k imes 2^k imes g(n-k) ]

• 考虑如何求 (g(x)) (一个错位排列)。

• 考虑第一排，一共有三种情况：两男两女或者一男一女(不配对)。

  • 两男：顺次选出两男的方案数为 (x(x-1)) ,然后考虑他们的配偶在之后的配对情况：

    • 如果强制不配对，那么把她们看成一对情侣来保证之后的过程中不配对(gay里gay气)，即 (g(x-1)) 。

    • 如果强制配对，那么在剩下的 (x-1) 排中选择一排，两人顺序可以交换，转移为 (2(x-1) imes g(x-2))。

  • 两女：方案数显然和两男的情况相同。

  • 一男一女：枚举一男一女，可以交换顺序的方案数为 (x(x-1)) ，转移其实是一样的，

• 所以我们得到：(g(x)=4x(x-1) imes[g(x-1)+2(x-1) imes g(x-2)]) 。

• 单次处理 (g) 复杂度 (O(n)) ，每次回答枚举 (k) 复杂度 (O(n)) ，总时间复杂度为 (O(n)) 。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define pb push_back
typedef long long LL;
inline int gi(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-48;ch=getchar();}
    return x*f;
}
template<typename T>inline bool Max(T &a,T b){return a<b?a=b,1:0;}
template<typename T>inline bool Min(T &a,T b){return b<a?a=b,1:0;}
const int N=2004,mod=998244353;
int T,n;
LL fac[N],inv[N],invfac[N],bin[N],g[N];
void add(LL &a,LL b){a+=b;if(a>=mod) a-=mod;}
LL Pow(LL a,LL b){
    LL res=1ll;
    for(;b;b>>+1,a=a*a%mod) if(b&1) res=res*a%mod;
    return res;
}
LL C(int n,int m){
    return fac[n]*invfac[n-m]%mod*invfac[m]%mod;
}
int main(){
    fac[0]=invfac[0]=inv[1]=bin[0]=1;
    rep(i,1,N-1){
        if(i^1) inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
        invfac[i]=invfac[i-1]*inv[i]%mod;
        bin[i]=bin[i-1]*2%mod;
    }
    
    g[0]=1,g[1]=0;
    rep(n,2,1000) g[n]=4ll*n*(n-1)%mod*(g[n-1]+2*(n-1)*g[n-2])%mod;
    
    T=gi();
    while(T--){
        n=gi();
        rep(k,0,n) printf("%lld
",C(n,k)*C(n,k)%mod*fac[k]%mod*bin[k]%mod*g[n-k]%mod);
    }
    return 0;
}