探索（数学）（矩阵快速幂）（快速乘）

Posted 2021-01-13 fengxunling

一句话题意：三维空间划分四维空间，最多能划分成多少个部分。

我们直接想四维的不好想，但是一般这种题我们考虑从低维开始做起。

在经过手算之后我们可以发现：

设(f(x))为零维（点）切一维（线）最多划分的部分，递推式：(f(x)=f(x-1)+1)

设(g(x))为一维（线）切二维（平面）最多划分的部分，递推式：(g(x)=g(x-1)+f(x-1))

设(k(x))为二维（平面）切三维（空间）最多划分的部分，递推式：(k(x)=k(x-1)+g(x-1))

设(h(x))为三维（空间）切四维最多划分的部分，递推式：(h(x)=h(x-1)+k(x-1))

那么我们很容易看出这是一个递推。但是因为数据范围很大，所以我们考虑构造矩阵进行矩阵快速幂加速运算。（不会打mathjax矩阵，只能凑合一下了）

1 1 0 0 0
0 1 1 0 0
0 0 1 1 0
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1

然后初始矩阵[1,f(0),g(0),k(0),h(0)]

但是因为数据实在很大，矩阵快速幂进行乘的时候很可能炸long long，所以我们用快速乘来保证数在mod范围内。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define MAXN 40
using namespace std;
long long n,m;
long long f[MAXN];
struct Node{long long t[MAXN][MAXN];};
Node init;
inline long long multi(long long x,long long y,long long mod)
{
    long long ans=0;
    while(y) 
    {
        if(y&1) ans=(ans+x)%mod;
        x=(x+x)%mod;
        y>>=1;
    }
    return ans%mod;
}
inline Node mul(Node x,Node y)
{
    Node cur;
    for(int i=1;i<=5;i++)
        for(int j=1;j<=5;j++)
            cur.t[i][j]=0;
    for(int i=1;i<=5;i++)
        for(int j=1;j<=5;j++)
            for(int k=1;k<=5;k++)
                cur.t[i][j]=(cur.t[i][j]+multi(x.t[i][k],y.t[k][j],m))%m;
    return cur;
}
inline void solve()
{
    long long cur[MAXN];
    memset(cur,0,sizeof(cur));
    for(int j=1;j<=5;j++)
        for(int k=1;k<=5;k++)
            cur[j]=(cur[j]+multi(f[k],init.t[k][j],m))%m;
    for(int i=1;i<=5;i++)
        f[i]=cur[i];
}
int main()
{
    freopen("discover.in","r",stdin);
    freopen("discover.out","w",stdout);
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    f[1]=1;
    f[2]=1;
    f[3]=1;
    f[4]=1;
    f[5]=1;
    for(int i=1;i<=5;i++) init.t[i][i]=1;
    init.t[1][2]=1;
    init.t[2][3]=1;
    init.t[3][4]=1;
    init.t[4][5]=1;
    while(n)
    {
        if(n&1) solve();
        init=mul(init,init);
        n>>=1;
    }
    printf("%lld
",f[5]%m);
    return 0;
}