总结LCA的4种求法
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了总结LCA的4种求法相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
前言
LCA的求法有多重多样,总结下来是下面这4种.希望大家可以加油!
暴力求LCA
我们考虑dfs求出每一个点的父亲(在当前根下),然后直接先暴力跳到同一个深度,再同时跳
void dfs(int u,int f){
fa[u]=f;dep[u]=dep[f]+1;
for(re int i=front[u];i;i=e[i].nxt){
int v=e[i].to;
if(v==f)continue;
dfs(v,u);
}
}
int lca(int u,int v){
if(dep[u]<dep[v])swap(u,v);
while(dep[u]!=dep[v])u=fa[u];
while(u!=v)u=fa[u],v=fa[v];
return u;
}
倍增求LCA
我们考虑每一次跳1个父亲的速度太慢,那么怎么优化呢?
这个时候就需要用到倍增这种思想了.
没有学过倍增的同学可以先写一下ST表,可能会对倍增有比较深刻的理解.
我们假设这样子一个变量(f[i][j])表示点(i)的第(2^j)个父亲是哪个节点.
因为每一个数都可以二进制表示,所以我们考虑每一次从大到小枚举跳的东西,然后就可以做到(Theta(n log(n)))
void dfs(int u,int fa){
dep[u]=dep[fa]+1;
for(re int i=front[u];i;i=nxt[i]){
int v=to[i];
if(v!=fa)dfs(v,u),f[0][v]=u;
}
}
int lca(int a,int b){
if(dep[a]<dep[b])swap(a,b);
for(re int i=20;~i;i--)
if(dep[a]-(1<<i)>=dep[b])
a=f[i][a];
if(a==b)return a;
for(re int i=20;~i;i--)
if(f[i][a]!=f[i][b])
a=f[i][a],b=f[i][b];
return f[0][a];
}
树链剖分求LCA
考虑把一个树分成轻链与重链,然后直接跳链就好了.
void dfs1(int u,int f){
fa[u]=f;siz[u]=1;dep[u]=dep[f]+1;
for(re int i=front[u];i;i=e[i].nxt){
int v=e[i].to;
if(v==fa[u])continue;
dfs1(v,u);
siz[u]+=siz[v];
if(siz[v]>siz[son[u]])son[u]=v;
}
}
void dfs2(int u,int tp){
top[u]=tp;
if(!son[u])return;
dfs2(son[u],tp);
for(re int i=front[u];i;i=e[i].nxt){
int v=e[i].to;
if(v==fa[u] || v==son[u])continue;
dfs2(v,v);
}
}
void swap(int &a,int &b){
int tmp=a;a=b;b=tmp;
}
int lca(int u,int v){
while(top[u]!=top[v]){
if(dep[top[u]]<dep[top[v]])swap(u,v);
u=fa[top[u]];
}
return dep[u]>dep[v]?v:u;
}
Tarjan求LCA
考虑把每一个询问当做一条边处理,那么如果这两个都被访问了,显然另一个点的祖先一定是他们的LCA.
所以可以很容易地写出这一段代码.(注意最后合并)
int find(int x){
if(f[x]!=x)f[x]=find(f[x]);
return f[x];
}
void Add(int u,int v){
to[++cnt]=v;nxt[cnt]=front[u];
front[u]=cnt;
}
void Addques(int u,int v,int Id){
toq[++cnt]=v;
id[cnt]=Id;nxtq[cnt]=frontq[u];
frontq[u]=cnt;
}
void dfs(int u,int fa){
b[u]=1;
for(int i=front[u];i;i=nxt[i]){
int v=to[i];
if(v!=fa){
dfs(v,u);
for(int j=frontq[v];j;j=nxtq[j]){
int vv=toq[j];
if(b[vv])ans[id[j]]=find(vv);
}
int uu=find(u),vv=find(v);
if(uu!=vv)f[vv]=uu;
}
}
}
以上是关于总结LCA的4种求法的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
Luogu P4482 [BJWC2018]Border 的四种求法