hdu2121 最小树形图的虚根

Posted 2021-01-13 zsben991126

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最小树形图的第二题，终于有了一些理解

具体看注释

*/

/*
无定根的最小树形图
建立虚root
每次只找最短的那条入边
最小树形图理解：
    第一步：寻找最短弧集E：扫一遍所有的边，找到每个点权值最小的入边，这一步会产生环
    第二步：对每个点 i 找环：通过第一步记录的前驱找环，如果找到了原点或退到了另一个环，点i找环失败 
    第三步：缩点，缩点就是染色，把每个环内的点染上同一种颜色，每个环内点打上同一个id
    第四步：更新一次边集：如果一条边连接两个不同颜色的点，就该边这条边的权值
重复以上四步。

最小树形图的root：root不需要入边 
最小树形图的实质是最小生成树，所以用贪心的思想解决，但是贪心找入边时会生产环（第一步）
                            因此还得找另外一条边连到那个环中，才能解决这个环（第四步）
 
不定根确定根需要加一个虚根，由虚根为超级源点建立最小生成树，
这样由超级源点出发到达的第一个点就是实际最小生成树的根
虚根和每条边链接一条虚边，其权值要大于实根的和，以此判断是否连了两条虚边（建图失败）

如何找到那个实根：在不断形成环的过程中，会最先有一个点最先和虚根相连，这个点就是实根（实根是不需要入边的，但是在加了虚根后，实根不再是根） 
    贪心思想保证第一个和虚根链接的必定是实根 
*/
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define ll long long 
#define MAXN 1005
#define INF 0x3f3f3f
using namespace std;
struct Edge{
    ll u,v,cost;
}edge[MAXN*MAXN];
ll pos; 
int pre[MAXN],id[MAXN],visit[MAXN];
ll in[MAXN];
ll zhuliu(int root,int n,int m){
    int res=0;
    int u,v;
    while(1){
        for(int i=0;i<n;i++)
            in[i]=INF;
        for(int i=0;i<m;i++)
            if(edge[i].u!=edge[i].v && edge[i].cost<in[edge[i].v]){
                in[edge[i].v]=edge[i].cost;
                pre[edge[i].v]=edge[i].u;
                if(edge[i].u==root)
                    pos=i;
            }
        for(int i=0;i<n;i++)
            if(i!=root && in[i]==INF)
                return -1;
        
        int tn=0;
        memset(id,-1,sizeof id);
        memset(visit,-1,sizeof visit);
        in[root]=0;
        for(int i=0;i<n;i++){
            res+=in[i];
            v=i;
            while(visit[v]!=i && id[v]==-1 && v!=root){
                visit[v]=i;
                v=pre[v];
            }
            if(v!=root && id[v]==-1){
                for(int u=pre[v];u!=v;u=pre[u])
                    id[u]=tn;
                id[v]=tn++;
            }
        }
        
        if(tn==0)
            break;//已经没有环了 
        for(int i=0;i<n;i++)
            if(id[i]==-1)
                id[i]=tn++;
                
        for(int i=0;i<m;i++){//第四步，更新一次边集 
            int u=edge[i].u;
            int v=edge[i].v;
            edge[i].u=id[u];
            edge[i].v=id[v];
            if(id[u] != id[v])
                edge[i].cost-=in[v]; 
        }
        n=tn;
        root=id[root];
    }
    return res;
}
int main(){
    ll n,m;
    while(scanf("%lld%lld",&n,&m)==2){
        ll sum=0;
        for(ll i=0;i<m;i++){

            scanf("%d%d%d",&edge[i].u,&edge[i].v,&edge[i].cost);
            edge[i].u++;edge[i].v++;
            sum+=edge[i].cost;
        }
        
        int root=n,tot=m;//加入虚根 
        for(ll i=m;i<n+m;i++){
            edge[i].u=0;
            edge[i].v=i-m+1;
            edge[i].cost=sum+1;
        }
                    
        ll ans=zhuliu(0,n+1,n+m);
        if(ans==-1 || ans-(sum+1)>=sum+1)
            printf("impossible

");
        else 
            printf("%lld %lld

",ans-(sum+1),pos-m);
    }
    return 0;
}