整数拆分

Posted 2021-01-13 long-w

如，对于正整数n=6，可以拆分为：
6
5+1
4+2, 4+1+1
3+3, 3+2+1, 3+1+1+1
2+2+2, 2+2+1+1, 2+1+1+1+1
1+1+1+1+1+1+1
现在的问题是，对于给定的正整数n，程序输出该整数的拆分种类数。
DP思路：
n = n1 + n2 + n3 + n4 + .... + nk
状态表示：将n划分为k个数相加的组合方案数记为 q(n,k)。（相当于将n个苹果放入k个盘子）
状态转移：
(1)若k>n，则盘子数大于苹果数，至少有n-k个空盘子，可以将其拿掉，对组合方案数无影响。
q(n,k) = q(n,n)
(2)若k<=n，则盘子数小于等于苹果数，则分为两种情况
1.至少有一个盘子空着：q(n,k) = q(n,k-1)
2.所有盘子都不空：q(n,k) = q(n-k,k)
q(n,k) = q(n,k-1) + q(n-k,k)

 1 //dp非递归的方法
 2 #include <iostream>
 3 #include <stdio.h>
 4 
 5 using namespace std;
 6 
 7 int main()
 8 {
 9     int n, i, j, dp[121][121];
10     for(i = 1; i < 121; i++)
11     {
12         for(j = 1; j < 121; j++)
13         {
14             if(i == 1 || j == 1)
15                 dp[i][j] = 1;
16             else if(i > j)
17                 dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-j][j];
18             else if(i ==j)
19                 dp[i][j] = dp[i][j-1] + 1;
20             else
21                 dp[i][j] = dp[i][i];
22         }
23     }
24     while(scanf("%d", &n) != EOF)
25     {
26         cout << dp[n][n] << endl;
27     }
28     return 0;
29 }