Codeforces 1063D Candies for Children

Posted 2021-01-12 patt

题目大意

给定整数 $n, k, l, r$，$1le n, k le 10^{11}$，$1le l, r le n$ 。
令 $ m = r - l + 1$，若 $m le 0$，$mgets m + n$ 。
未知数 $xin mathbb{Z}$ 满足 $ 0 le x le n$，且满足
$ k mod (n + x) = 0$ 且 $m = n$ ；或者
$ k mod (n + x) e 0$ 且 $0 le k mod (n + x) - m le min(m, x) $

求 $x$ 的最大值，若不存在符合条件的 $x$ 则输出 -1。

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换一种思路，基本上是用自己的话将官方题解描述了一遍。

Note, that basically, we have two parts of the circle — the part between $[l;r]$ which gets candies one time more than the other part.

为了便于描述，将 $[l;r]$ 称作第一段，其余的称作第二段。注意：第一段长度一定大于零，而第二段长度可能等于零。

另外假设 $r$ 最后一次取糖时，恰取到了他想要的数量的糖（换言之若 $r$ 是 sweet tooth，那么他最后一次得到 2 块糖）。如果不是这种情况，只要将 $k$ 变成 $k+1$ 并且保证第一段内至少有 $1$ 个 sweet tooth。

设第一段长度为 $x$，其中有 $a$ 个 sweet tooth，第二段长度为 $y$ 且其中有 $b$ 个 sweet tooth，设第二段经历了 $t$ 次分糖，则第一段经历了 $t+1$ 次分糖。可以建立如下的不定方程：

$ (2a + (x- a)) (t + 1) + (2b + (y - b) ) t = k$
化简得

egin{equation}
(a + x) (t + 1) + (b + y) t = k label{E:1}
end{equation}

约束条件：$ 0le a le x$，$0le b le y$ 。

（下面是这道题最精髓的地方。）

当 $n$ 比较小时，我们可以暴力枚举 $a$，$b$，看方程 eqref{E:1} 是否有解，复杂度 $O(n^2)$

当 $n$ 比较大时，我们可以暴力枚举 $t$，显然有 $0 le t le k / n$ 。此时方程 eqref{E:1} 变成了关于 $a,b$ 不定方程，确切地说是丢番图方程（Diophantine equation）
egin{equation}
(t+ 1) a + tb = gamma label{E:2}
end{equation}
其中 $gamma = k - nt - x$ 。
方程 eqref{E:2} 的通解为
$ a = a_0 - tz, b = b_0 + (t+1) z$
其中 $a_0, b_0$ 是方程 eqref{E:2} 的一组特解，可以由扩展欧几里得算法得到，$z$ 是任意整数。
由 $0 le a le x$，$0le b le y$ 可得到 $z$ 的取值范围 $[z_1, z_2]$ 。显然，$z = z_2$ 时 $a+ b$ 最大。

事实上，我们有 $gcd(t+1, t) = 1$，此时可取特解 $a_0 = gamma, b_0 = - gamma$ 。