MT226费马点两题

Posted 2021-01-12 mathstudy

已知$z_1=2sqrt{3}i,z_2=3,z_3=-3,|z_3-z_4|=2sqrt{3},$则$|z_1-z_4|+|z_2-z_4|$的最小值为_____

提示:费马点最小,取$Z_4(0,sqrt{3})$为$Delta Z_1Z_2Z_3$的费马点. 此时$|z_3-z_4|=2sqrt{3}$
故$|z_1-z_4|+|z_2-z_4|ge3sqrt{3}$
注:只有这些很对称特殊的点的费马点可以坐标写出,一般的已知三个点的坐标求费马点的坐标的公式没有.

练习:设$z$为复数,$k$为实数,且$|z+2016|+|z+2017+ki|+|z+2018|$的最小值为$sqrt{3}+1$则$k=$_____

 

 

提示:费马点,记$A(-2016,0),B(-2017,-k),C(-2018,0)$令$angle{CZA}=120^{o}$
则$|BZ|=sqrt{3}+1-dfrac{2}{sqrt{3}}*2=|k|-dfrac{1}{sqrt{3}}$得,$k=pm 1$