Codeforces #1063C Dwarves, Hats and Extrasensory Abilities

Posted 2021-01-12 patt

题目大意

交互题。
输出平面上的一个点的坐标，交互程序给这个点染色（白或黑）。
如此重复 $n$ 次（$ 1le n le 30$）。
要求输出的 $n$ 个点各不相同，并且不论交互程序怎样给它们染色，都能找到一条直线将白点和黑点隔开（分隔线不能通过染色的点）。
输出分隔线上的两个点的坐标。

要求：输出的所有坐标都必须是 $0$ 到 $10^9$ 之间的整数。

解法

不难想到可以将 $n$ 个点都选在一条平行于 $x$ 轴的直线上。

每次都取中间两个相邻的黑白点的连线的中点。

由于纵坐标是一个常数，下面我们只考虑横坐标。

将第一个点的（横）坐标选为 $0$，不妨设第一个点被赋予白色，此时我们假想 $10^9+1$ 处是一个（虚拟的）黑点。
每次选取相临的两个黑白点连线的中点 $ l + (r - l) / 2$ 或者 $(l+r)/2$（注意：这种写法有溢出的风险）。

比赛时我的思路大体是对的，只是在最后输出分隔线时，我选择的是垂直于 $x$ 轴的直线，令其与 $x$ 轴交于 $(l + 1, 0)$，$l$ 是最右侧的白点的横坐标。

但是我没考虑到一种情况，那就是中间相邻的那两个黑白点的距离有可能是 $1$（这是由于 $2^{30} > 10^9+1$ 。实际上，若令 $x = 10^9 + 1$，将 $xgets lceil x /2 ceil$ 反复执行 $29$ 次，必然有 $x = 1$；将 $x gets lfloor x/2 floor$ 反复执行 $29$ 次也必然有 $x = 1$），此时分隔线恰经过最左侧的黑点。容易看出，分隔线若与 $x$ 轴垂直就在黑白点所在的水平线上占了一个位置（总共有 $10^9 + 1$ 个位置）。我们完全可以选择一条斜直线作为分隔线，由于最后必然有 $l < r$，我们可以令黑白点的纵坐标为 $1$，这样分隔线就可取为通过 $(l, 0)$ 和 $(r, 2)$ 两点的直线。