拉普拉斯矩阵(Laplacian Matrix) 及半正定性证明

Posted 2021-01-12 shiyublog

摘自 https://blog.csdn.net/beiyangdashu/article/details/49300479 

和 https://en.wikipedia.org/wiki/Laplacian_matrix

定义

给定一个由n个顶点的简单图G，它的拉普拉斯矩阵定义为：

L = D - A，其中，D是该图G度的矩阵，A为图G的邻接矩阵。

因为G是一个简单图，A只包含0,1，并且它的对角元素均为0.

L中的元素给定为：

其中deg(v_i) 表示顶点 i 的度。

对称归一化的拉普拉斯 (Symmetric normalized Laplacian)

对称归一化的拉普拉斯矩阵定义为：

,

 的元素给定为：

随机游走归一化的拉普拉斯 (Random walk normalized Laplacian)

随机游走归一化的拉普拉斯矩阵定义为：

 的元素给定为

泛化的拉普拉斯 (Generalized Laplacian)

泛化的拉普拉斯Q定义为:

注意：普通的拉普拉斯矩阵为泛化的拉普拉斯矩阵。

例子

Labeled graph	Degree matrix	Adjacency matrix	Laplacian matrix

拉普拉斯矩阵半正定性证明