poj 2559(栈的应用)

Posted 2021-01-12 violet-acmer

传送门:Problem 2559

https://www.cnblogs.com/violet-acmer/p/9780420.html

 

参考资料：

　　[1]:挑战程序设计竞赛

题意：

　　柱状图是由一些宽度相等的长方形下端对齐后横向排列得到的图形。现在有由n个宽度为1，高度分别为h[1,2,3.......n]的长方形从左到右依次排列组成的柱状图。

　　问里面包含的长方形的最大面积是多少？

题解：

　　如果确定了长方形的左端点L和右端点R，那么最大可能的高度就是min{h[i] | L <= i <= R}。这样我们就得到了一个O(N^3)的算法，如果对计算区间最小值进行一些优化，那么可以把复杂度将为O(N^2)。

　　但即使是这样，仍然无法在规定时间内求出答案。那么我们应该怎么做才能更高效的求解呢？

　　设面积最大的长方形左端是L，右端是R，高度是H。

　　易得H[L-1] < H 且 H[R+1] < H ，H=min{h[i] | L <= i <= R} 。

　　证明：

　　　　如果H[L-1] >= H ，那么左端点就可以更新为L-1，从而可以得到更大的长方形，与假设矛盾，因此 H[L-1] < H，同理可得 H[R+1] < H。

　　我们可以遍历一边，找到每个 i (i=1,2,3,......,n) 的最小的L[i]和最大的R[i]，这样答案就是 max( h[i]*(R[i]-L[i]+1) ) (i=1,2,3,.........,n)。

　　关键就是如何在线性时间内求出每个 i 的 L[i]和R[i]。

　　由 H[L-1] < H && H[R+1] < H 可得：

　　L[i]=( i 之前的高度第一个小于 h[i] 对应的下标) + 1;

　　R[i]=( i 之后的高度第一个小于 h[i] 对应的下标) - 1;

　　暴力方法当然是对于每个 i 都遍历一边 i 之前的值和 i 之后的值，这当然是会超时的，所以，我们要换个思路。

　　引入一个新的数据结构栈：

　　在计算 L[i] 时，首先，判断栈顶元素 j 的高度 h[j] 是否大于等于 h[i]，如果h[j] >= h[i]，则不断弹出栈顶元素，直到 h[j] < h[i] 或栈为空。

　　若栈为空，则L[i] = 1，反之，L[i]=j+1，然后将 i 压入栈中。

　　计算 R[i] 时只需反向( i 从n 到 1 )重复上述过程即可。

　　由于栈的压入和弹出操作都是 O(N)，因此整个算法的时间复杂度为 O(N);

AC代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<stack>
 4 using namespace std;
 5 const int maxn=1e5+50;
 6 
 7 int n;
 8 int h[maxn];
 9 int l[maxn],r[maxn];
10 stack<int >_stack;
11 
12 void Init()
13 {
14     while(!_stack.empty())//好几次将 while() 写成 if( ),然后，在主程序中找了半天Bug，emmmmmmmm
15         _stack.pop();
16 }
17 int main()
18 {
19     while(scanf("%d",&n) && n)
20     {
21         Init();
22         for(int i=1;i <= n;++i)
23             scanf("%d",h+i);
24         for(int i=1;i <= n;++i)//求 l[i]
25         {
26             while(!_stack.empty() && h[_stack.top()] >= h[i])
27                 _stack.pop();
28             l[i]=(_stack.empty() ? 1:_stack.top()+1);
29             _stack.push(i);
30         }
31         Init();//一定要将栈清空
32         for(int i=n;i >= 1;--i)//求 r[i]
33         {
34             while(!_stack.empty() && h[_stack.top()] >= h[i])
35                 _stack.pop();
36             r[i]=(_stack.empty() ? n:_stack.top()-1);
37             _stack.push(i);
38         }
39         long long res=0;
40         for(int i=1;i <= n;++i)
41             res=max(res,(long long)h[i]*(r[i]-l[i]+1));
42         printf("%lld
",res);
43     }
44     return 0;
45 }

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