51nod 1355 斐波那契的最小公倍数

Posted 2021-01-12 aziint

Description

斐波那契数列定义如下：
[ f[n]= egin{cases} 1 , & ext {if $n$ is equal to $0$ or $1$} f(n-1) + f(n-2), & ext{otherwise} end{cases} ]

给出 (n) 个正整数 (a_1, a_2,cdots ,a_n) ，求对应的斐波那契数的最小公倍数，由于数字很大，输出 (mod{ 1000000007}) 的结果即可。

(2le N le 50000,1 le a_ile 1000000)

Solution

首先对于集合 ({S}) 有
[ lcm(S)=prod_{Tsubseteq S,T eemptyset} gcd(T) ^{(-1)^{|T|+1}} ]
对于斐波那契数列有
[ f(gcd(a,b)) = gcd(f(a), f(b)) ]
于是有
[ egin{align} lcm(f_S) &=prod_{Tsubseteq S,T eemptyset} gcd(f_T)^{(-1)^{|T|+1}} &=prod_{Tsubseteq S,T eemptyset} f_{gcd(T)}^{(-1)^{|T|+1}} end{align} ]

定义数列 (g)

[ f_n=sum_{d|n}g_d ]

于是有
[ egin{align} lcm(f_S) &=prod_{Tsubseteq S,T eemptyset} gcd(f_T)^{(-1)^{|T|+1}} &=prod_{Tsubseteq S,T eemptyset} f_{gcd(T)}^{(-1)^{|T|+1}} &=prod_{Tsubseteq S,T eemptyset} (prod_{d|gcd(T)}g_d)^{(-1)^{|T|+1}} &=prod_d g_d^{sum_{Tsubseteq S,T e emptyset,d|gcd(T)} (-1)^{|T|+1}} end{align} ]
另有
[ sum_{Tsubseteq S,T e emptyset,d|gcd(T)} (-1)^{|T|+1} = egin{cases} 1, & exists x in S,d|x, & ext{otherwise} end{cases} ]
于是
[ egin{align} lcm(f_S) &=prod_{Tsubseteq S,T eemptyset} gcd(f_T)^{(-1)^{|T|+1}} &=prod_{Tsubseteq S,T eemptyset} f_{gcd(T)}^{(-1)^{|T|+1}} &=prod_{Tsubseteq S,T eemptyset} (prod_{d|gcd(T)}g_d)^{(-1)^{|T|+1}} &=prod_d g_d^{sum_{Tsubseteq S,T e emptyset,d|gcd(T)} (-1)^{|T|+1}} &=prod_{exists x in S,d|x} g_d end{align} ]
然后就可以直接算了。

另外对于 (g)
[ g_n=f_n imes(prod _{d|n,d e n} g_d)^{-1} ]

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

template <class T> void read(T &x) {
    x = 0; bool flag = 0; char ch = getchar(); for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) flag |= ch == '-';
    for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = x * 10 + ch - 48; flag ? x = 0 - x : 0;
}

#define N 10000010
#define rep(i, a, b) for (auto i = (a); i <= (b); ++i)
#define drp(i, a, b) for (auto i = (a); i >= (b); --i)
#define ll long long
#define P 1000000007

int n, a[N], f[N], g[N];

int qpow(int x, int k) {
    int ret = 1;
    for (; k; k >>= 1, x = 1ll * x * x % P) if (k & 1) ret = 1ll * ret * x % P;
    return ret;
}

void init() {
    f[1] = 1;
    rep(i, 2, n) f[i] = (f[i - 2] + f[i - 1]) % P;
    rep(i, 1, n) g[i] = f[i];
    rep(i, 1, n) {
        int inv = qpow(g[i], P - 2);
        for (int j = i + i; j <= n; j += i) g[j] = 1ll * g[j] * inv % P;
    }
}

bool vis[N];

int main() {
    read(n); int _n = 0;
    rep(i, 1, n) read(a[i]), _n = max(a[i], _n), vis[a[i]] = 1;
    n = _n;
    init();
    int ans = 1;
    rep(i, 1, n) {
        bool tag = 0;
        for (int j = i; j <= n; j += i) if (vis[j]) { tag = 1; break; }
        if (tag) ans = 1ll * ans * g[i] % P;
    }
    printf("%d", ans);
    return 0;
}