模板（线性时间求1~n的所有欧拉函数值）

Posted 2021-01-12 lltyyc

定理：

(以下p均为质数)

1. φ(p)=p-1  

3. 如果 i mod p ≠ 0 那么 φ(i*p)=φ(i)*φ(p)

2. 如果 i mod p = 0 那么 φ(i*p)=φ(i)*p

证明（其实只要知道结论就好了，证明可以跳过）：

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1. 因为p是质数，所以1~p的所有数除了p其他均与p互质

2. 因为 i mod p ≠ 0 且 p为质数，那么 i 与 p 一定互质，由欧拉函数的积性可得 φ(i*p)=φ(i)*φ(p)

　　关于欧拉函数积性的证明（自己口胡的，具体证明还是看别人的博客吧）：

　　　　在1~i*p-1的所有数中只有那些既与 i 互质（小于 i 的数有φ(i)个），又与 p 互质（小于 p 的数有φ(p)个）的数才与 i*p 互质

　　　　显然每个与 i 互质的数（小于 i）乘上任意一个与 p 互质的数（小于 p）都一定与既与 i 互质又与 p 互质，

　　　　一共有φ(i)*φ(p)个数，而且任意一个既与 i 互质又与 p 互质的数一定可以写成 一个与 i 互质的数和一个与 p 互质的数的乘积

3. 设b=gcd(i,p)

因为p,i不互质，所以 p=k1b,i=k2b

因为 p+i = (k1+k2)b ，所以p+i 与 i 不互质，所以对于任意一个 i ，只要 p 与 i 不互质

那么 p+i 与 i 不互质，又因为p 与 i 不互质，所以 p+i 与 p 不互质（p+i 与 p 有公因子 b）

所以在 p+1~p+p 的闭区间里与 p 不互质的数也有 i - φ(p)  个，

同理2p+1~2p+p也有 i - φ(p) 个....

所以1~i*p 的区间中有 i*p - i*φ(p) 个数与 p 不互质（即与p互质的数有 i*φ(p)个）

反过来，如果一个数 i (i<p) 与 p 互质，那么 p+i 也与 p 互质

假设 p+i 与 p 不互质

那么设 b=gcd(p+i,p)，p+i=k1b,p=k2b，那么 i = p+i-p=k1b-k2b=(k1-k2)b 与 i p 互质的条件矛盾（有公因子b）

证明完毕。

 

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有了这些条件，我们在用欧拉筛筛质数时就可以一起求出所有数的欧拉函数值了

实现看代码：

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=1e5+7;
int n;
int pri[N],cnt,phi[N]//phi存欧拉函数值，其他的就是线性筛的东西了;
bool not_pri[N];
void get_phi()
{
    scanf("%d",&n);
    not_pri[1]=phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!not_pri[i]) { pri[++cnt]=i; phi[i]=i-1; }//如果i是质数,phi[i]=i-1  1.
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
        {
            int g=i*pri[j];
            if(g>n) break;
            not_pri[g]=1;
            if(!(i%pri[j])) { phi[g]=phi[i]*pri[j]; break; }//如果i mod p == 0 ，phi[i*p]=phi[i]*p  3.
            phi[g]=phi[i]*phi[pri[j]];//如果 i mod p !=0，phi[i*p]=phi[i]*phi[p]  2.
        }
    }
}