POJ3090 Visible Lattice Points

Posted 2021-01-12 captain1

传送门

ovo，这题我一开始竟然没看出来怎么做……

我们不妨设a>b，那么对于每一个a，所能被看到的点的个数就是phi（a），直接求一下欧拉函数的前缀和就行。之后在对于b>a的时候是同理的，还要×2.最后我们发现（1,1）被算了两次，然后还有（0,1）和（1,0）没算，那就再+1.

欧拉函数要线性筛。至于欧拉函数为什么是积性的……这个证明很复杂，反正书上的那个我根本看不懂。有两条重要的性质，第一个是如果一个数i为质数，那么phi（i）=i-1，这个很显然。对于两个互质的数，其乘积的欧拉函数等于二者欧拉函数的乘积，否则若不互质的话（在线性筛的时候也就是对于一个素数和它的倍数），二者乘积的欧拉函数等于那个非素数的欧拉函数×这个素数。（其实不是素数也是成立的）

之后我们就可以在线性筛的时候求出欧拉函数了。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<set>
#include<vector>
#include<queue>
#define pb push_back
#define rep(i,a,n) for(int i = a;i <= n;i++)
#define per(i,n,a) for(int i = n;i >= a;i--)
#define enter putchar(‘
‘)

using namespace std;
typedef long long ll;
const int M = 40005;
const int N = 2000005;
const int INF = 1000000009;
const ll mod = 51123987;

int read()
{
    int ans = 0,op = 1;
    char ch = getchar();
    while(ch < ‘0‘ || ch > ‘9‘)
    {
    if(ch == ‘-‘) op = -1;
    ch = getchar();
    }
    while(ch >= ‘0‘ && ch <= ‘9‘)
    {
    ans *= 10;
    ans += ch - ‘0‘;
    ch = getchar();
    }
    return ans * op;
}

int pri[M],n,c,tot;
ll phi[M];
bool np[M];

void euler()
{
    np[1] = 1,phi[1] = 1;
    rep(i,2,1500)
    {
    if(!np[i]) pri[++tot] = i,phi[i] = i-1;
    for(int j = 1;i * pri[j] <= 1500;j++)
    {
        np[i * pri[j]] = 1;
        if(!(i % pri[j]))
        {
        phi[i*pri[j]] = phi[i] * pri[j];
        break;
        }
        else phi[i*pri[j]] = phi[i] * (pri[j]-1);
    }
    }
    rep(i,1,1500) phi[i] += phi[i-1];
}

int main()
{
    euler();
    c = read();
    rep(i,1,c)
    {
    n = read();
    printf("%d %d ",i,n);
    printf("%lld
",(phi[n] << 1) + 1);
    }
    return 0;
}