“前缀和“”思想（二哥种花生）

Posted 2021-01-12 jsjliyang

“前缀和“”思想（二哥种花生）

这两天在做OJ题，这道题主要是时间复杂度比较高，重复计算太多，需要进行时间上的优化，查阅资料用到了“前缀和”的思想，但都说的不是很清楚，发本人第一篇博客，想把这思想讲的清楚一点。

---

题目

• Description
  二哥在自己的后花园里种了一些花生，也快到了收获的时候了。这片花生地是一个长度为L、宽度为W的矩形，每个单位面积上花生产量都是独立的。他想知道，对于某个指定的区域大小，在这么大的矩形区域内，花生的产量最大会是多少。
• Input Format
  第1行有2个整数，长度L和宽度W。
  第2行至第L+1行，每行有W个整数，分别表示对应的单位面积上的花生产量A（ 0≤A<10 ）。
  第L+2行有2个整数，分别是指定的区域大小的长度a和宽度b。
• Output Format
  输出一个整数m，表示在指定大小的区域内，花生最大产量为m。
• Sample Input
  4 5
  1 2 3 4 5
  6 7 8 0 0
  0 9 2 2 3
  3 0 0 0 1
  3 3
• Sample Output
  38

第一想法

刚看到题目觉得很简单，把矩阵存入，在循环计算进行比较就可以了，但是这样的时间复杂度过高，一个数据的重复计算太多，可以用但是会造成题目解答超时。

“前缀和”思想

“前缀和”的思想可以概括为这样子的公式：ans[i] = ans[i-1] + a[i]
其中ans需要我们区着手构建，a[i]是我们进行优化后想要的那个数值，构建好之后a[i]就可以用ans[i]-ans[i-1]来得到，这样就避免了数据的重复计算，属于用空间换时间，一般用于优化时间复杂度。

“前缀和”用于本题

可以构建一种方式来快速得到每个小矩阵的和，具体的做法为：
p[i][j] = p[i][j] + p[i-1][j] + p[i][j-1] - p[i-1][j-1]
意即：i行j列元素 = 它本身 + 左元素（如果存在）+ 上元素（如果存在）+ 左上角元素（如果存在），将输入的数据转化为一个新的矩阵。
求小矩阵和的具体做法为：
s = p[i][j] - p[i][j-b] - p[i-a][j] + p[i-a][j-b] （s为和，a、b分别为小矩阵的长和宽）
意即：小矩阵的和 = 矩阵右下角元素 - 左矩阵右下角元素（如果存在）- 上矩阵右下角元素（如果存在）+ 左上角矩阵右下角元素（如果存在），用于快速计算。

示意图如下：

代码

代码链接：SJOJ1002
1000×1000的数组过大，需要进行动态的创建数组，有点忘了，之后进行优化吧。
还有一种方法由于优化的比较好，并没有用到“前缀和”思想，比较厉害（本人其实更偏向于这种优化），链接贴在后面，有时间再研究。

参考资料

题目链接：https://acm.sjtu.edu.cn/OnlineJudge/problem/1002
“前缀和”解题：
1.https://blog.csdn.net/zhonghua123/article/details/22721361
2.https://blog.csdn.net/oscaronmar/article/details/78975867
优化算法解题：
https://blog.csdn.net/lmw21848/article/details/51072918

Tip: 由于本人第一次发博客，难免有不妥之处，望各位批评指正！