CF 1039D You Are Given a Tree && CF1059E Split the Tree 的贪心解法

Posted 2021-01-12 hailjedi

1039D 题意：

给你一棵树，要求对给定链长于 k = 1, 2, 3, ..., n，求出最大的链剖分。

1059E 题意：

给你一棵带权树，要求对于一组给定的 L, W 求出最小完全竖链剖分满足每条链点数不超过 L，权值和不超过 W。

显然两题是有共同点的，就是让我们求满足一定条件的树的最值链剖分。

比较暴力的可以尝试用 DP 计数，但是我不想深入 DP，因为方程比较复杂，思考起来不太容易。

很巧的是，这两题可以用相似的贪心思想来做。

在思考具体细节之前，需要明确贪心的主要思想：在从下往上回溯的过程中，总是在合适条件下贪心地成链。

1039D 

如果对于给定的 k 值可以快速求解，就可以用分块的思想处理 k 不同时的情况。

怎样求解给定的 k 呢？

还是贪心的做法。

在 dfs 回溯过程中，一旦当前点可以成链，就直接钦定下来 :)

具体操作过程中，需要对每个点记录最长与次长子链，这样一旦两者和达到 k，就可以成链了。

证明略。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 100000 + 5;
const int BLOCK = 100;

int n;
int f[N][2];
vector<int> node;
vector<int> g[N];
int fa[N];

void dfs(int u, int f = 1) {
  for (auto v: g[u]) {
    if (v != f) {
      dfs(v, u);
    }
  }
  node.push_back(u);
  fa[u] = f;
}

int solve(int k) {
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    f[i][0] = f[i][1] = 0;
  }
  int ret = 0;
  for (int u: node) {
    if (f[u][0] + f[u][1] + 1 >= k) {
      ret++;
    } else {
      if (f[fa[u]][0] < f[u][0] + 1) {
        f[fa[u]][1] = f[fa[u]][0];
        f[fa[u]][0] = f[u][0] + 1;
      } else {
        f[fa[u]][1] = max(f[fa[u]][1], f[u][0] + 1);
      }
    }
  }
  return ret;
}

int main() {
  scanf("%d", &n);
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    int u, v;
    scanf("%d %d", &u, &v);
    g[u].push_back(v);
    g[v].push_back(u);
  }
  dfs(1);
  int x = N, k = 1;
  while (x > BLOCK) {
    x = solve(k++);
    printf("%d
", x);
  }
  for (int i = BLOCK; i >= 0; i--) {
    if (solve(k) != i || k > n) {
      continue;
    }
    int l = k, r = n + 1;
    while (r - l > 1) {
      int mid = (l + r) / 2;
      if (solve(mid) == i) {
        l = mid;
      } else {
        r = mid;
      }
    }
    while (k <= l) {
      printf("%d
", i);
      k++;
    }
  }
  return 0;
}

1059E

与上题不同的是，这题的链要求是竖直的，考虑从链底做贪心。

对于每个点，关注每条从子节点过来的链，并且贪心的选择将当前点并入终点最高的链上。

如果没有这样的链，就直接根据题目条件选择最高的链。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 100000 + 5;

int up[N];
int dep[N], path[N];
int fa[N][21];
int n, L;
int w[N];
long long S;
long long sumw[N];
vector<int> g[N];

void prepare(int u, int f = 0) {
  dep[u] = dep[f] + 1;
  sumw[u] = sumw[f] + w[u];
  up[u] = u;
  fa[u][0] = f;
  for (int i = 1; i <= 20; i++) {
    fa[u][i] = fa[fa[u][i-1]][i-1];
  }
  int lim = L-1;
  for (int i = 20; i >= 0; i--) {
    if (fa[up[u]][i] != 0 && (1 << i) <= lim && sumw[u] - sumw[fa[fa[up[u]][i]][0]] <= S) {
      up[u] = fa[up[u]][i];
      lim -= (1 << i);
    }
  }
  for (int v: g[u]) {
    prepare(v, u);
  }
}

int solve(int u) {
  int ret = 0, best = -1;
  for (int v: g[u]) {
    ret += solve(v);
    if (path[v] != v) {
      if (best == -1 || dep[path[v]] < dep[best]) {
        best = path[v];
      }
    }
  }
  if (best == -1) {
    ret++;
    best = up[u];
  }
  path[u] = best;
  return ret;
}

int main() {
  scanf("%d %d %lld", &n, &L, &S);
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    scanf("%d", &w[i]);
    if (w[i] > S) {
      printf("-1
");
      return 0;
    }
  }
  for (int i = 2; i <= n; i++) {
    int p;
    scanf("%d", &p);
    g[p].push_back(i);
  }
  prepare(1);
  printf("%d
", solve(1));
  return 0;
}