求解矩阵特征值及特征向量

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了求解矩阵特征值及特征向量相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

矩阵特征值

定义1:设A是n阶矩阵,如果数技术分享图片和n维非零列向量技术分享图片使关系式技术分享图片成立,则称这样的数技术分享图片成为方阵A的特征值,非零向量技术分享图片成为A对应于特征值技术分享图片的特征向量。

说明:1、特征向量技术分享图片,特征值问题是对方阵而言的。

   2、n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组技术分享图片有非零解的技术分享图片值,即满足方程技术分享图片技术分享图片都是矩阵A的特征值。

   3、技术分享图片

 

定义2:A为n阶矩阵,称技术分享图片为A的特征矩阵,其行列式技术分享图片技术分享图片的n次多项式,称为A的特征多项式,技术分享图片称为A的特征方程。

说明:1、由定义得,技术分享图片是A的特征值,等价于技术分享图片是其特征方程技术分享图片的根,因此又称技术分享图片为A的特征根。若技术分享图片技术分享图片技术分享图片重根,则称技术分享图片为A的技术分享图片重特征值(根)。

   2、方程技术分享图片的任意非零解向量,都是对应于技术分享图片的特征向量。

   3、A的特征矩阵也可以表示为技术分享图片

      特征多项式也可以表示为技术分享图片

      特征方程也可以表示为技术分享图片

          4、求A的特征值技术分享图片就是求技术分享图片的根技术分享图片,求A的相应于技术分享图片的特征向量就是求技术分享图片的非零解向量。

求矩阵A的特征值及特征向量问题就转化为求解多项式方程以及齐次线性方程组的通解问题。

下面是一些练习:

技术分享图片的特征值和特征向量

A的特征多项式为

  技术分享图片

                                  技术分享图片

    所以A的特征值为技术分享图片技术分享图片

 当技术分享图片时,对应的特征向量应满足技术分享图片

    即技术分享图片

 解得技术分享图片,所以对应的特征向量可取为技术分享图片。故相应于技术分享图片的全体特征向量为技术分享图片

    当技术分享图片时,由技术分享图片,即技术分享图片,解得技术分享图片,所以对应的特征向量可取为技术分享图片。故相应于技术分享图片的全体特征向量为技术分享图片

 

以上是关于求解矩阵特征值及特征向量的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

六种语言求解特征值和特征向量(2022.4.29)

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