求解矩阵特征值及特征向量
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了求解矩阵特征值及特征向量相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
矩阵特征值
定义1:设A是n阶矩阵,如果数和n维非零列向量
使关系式
成立,则称这样的数
成为方阵A的特征值,非零向量
成为A对应于特征值
的特征向量。
说明:1、特征向量,特征值问题是对方阵而言的。
2、n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组有非零解的
值,即满足方程
的
都是矩阵A的特征值。
3、
定义2:A为n阶矩阵,称为A的特征矩阵,其行列式
为
的n次多项式,称为A的特征多项式,
称为A的特征方程。
说明:1、由定义得,是A的特征值,等价于
是其特征方程
的根,因此又称
为A的特征根。若
是
的
重根,则称
为A的
重特征值(根)。
2、方程的任意非零解向量,都是对应于
的特征向量。
3、A的特征矩阵也可以表示为;
特征多项式也可以表示为;
特征方程也可以表示为。
4、求A的特征值就是求
的根
,求A的相应于
的特征向量就是求
的非零解向量。
求矩阵A的特征值及特征向量问题就转化为求解多项式方程以及齐次线性方程组的通解问题。
下面是一些练习:
例 求的特征值和特征向量
解 A的特征多项式为
所以A的特征值为,
。
当时,对应的特征向量应满足
,
即
解得,所以对应的特征向量可取为
。故相应于
的全体特征向量为
当时,由
,即
,解得
,所以对应的特征向量可取为
。故相应于
的全体特征向量为
以上是关于求解矩阵特征值及特征向量的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章