343. Integer Break

Posted 2021-01-11 liaohuiqiang

问题

将一个正整数分成至少两个正整数的和，使得最大化这些整数的乘积，给出最大乘积。

Input: 10
Output: 36
Explanation: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

思路

什么时候pq > p + q，只要p和q都大于1就满足。在正整数里，两个为2时pq==p+q，所以只要一个至少为2，另一个至少为3即可，也就是p+q至少为5，那么只要一个数大于等于5，就可以把这个数分解成p+q，使得pq > p + q，如果p或者q里面还有大于等于5的数，就将p或q继续分解，不断往下分解，直到因子小于5。

因为要分解到小于5，所以最后的因子一定是2或者3（或者4），因为分成4和分成2是一样的（两个2和1个4的乘积相同），所以我们考虑3和2要怎么分配。

考虑一个数有m个3和n个2相加，即(x = 3m + 2n)，那么积等于m个3和n个2相乘，定义一个函数，(f = 3^m * 2^n = 3^m * 2^{frac{x - 3m}{2}})，可以得到$ln  f $是一个关于m递增的函数，如下公式所示。所以m越大越好，m表示3的个数，也就是说分解的时候尽量分多一些3，分到不能分再分2。
[ egin{split} ln f &= m * ln3 + frac{x - 3m}{2} * ln2 &= frac{x}{2} ln 2 + (ln 3 - frac{3}{2}ln 2)*m end{split}]

时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)

代码

class Solution(object):
    def integerBreak(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        if(n == 2 or n == 3):
            return n-1
        res = 1
        while(n>=5):
            n -= 3
            res *= 3
        res *= n
        return res     

出于以下考虑，还可以这么写。
如果n%3 == 0，可以分解成n/3个3，它们的积为(3^{n/3})。
如果n%3 == 1，说明和的形式为n/3 * 3 + 1，把其中一个3和单独的1改写为2个2，它们的积为(3^{n/3-1} * 2 * 2)。
如果n%3 == 2，说明和的形式为n/3 * 3 + 2，它们的积为(3^{n/3} * 2)。

class Solution(object):
    def integerBreak(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        if n>=4:
            if n%3 == 0:
                return 3**(n/3)
            if n%3 == 1:
                return 3**(n/3-1)*4
            else:
                return 3**(n/3)*2
        return n-1