Codeforces.888G.Xor-MST(Bor?vka算法求MST 贪心 Trie)

Posted 2021-01-11 sovietpower

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(Description)

有一张(n)个点的完全图，每个点的权值为(a_i)，两个点之间的边权为(a_i xor a_j)。求该图的最小生成树。
(nleq2*10^5,0leq ai<2^{30})。

(Solution)

代码好神啊。

依旧是从高到低考虑每一位。对于当前位i，如果所有点在这一位都为0或1，不需要管（任何边在这一位都为0）。
否则可以把点分为两个集合，即i位为0和1的集合，这两个集合间必须存在一条边，且边权这一位只能为1。

考虑怎么高效得到两个集合间的最小边。可以将一个集合的(a_i)插入Trie，再枚举另一个集合的点在Trie上走。
这样枚举每一位然后合并两个集合的点，再递归到两边(该位为0或1)，就可以得到MST了。
这也是Bor?vka算法的过程，不过用Trie可以将每次需(O(m))的迭代优化到(O(nlog a_{max}))。

实现细节：可以先对所有点建Trie，并直接在Trie树上DFS，存在左右儿子时即会分为两个集合。
将(a_i)从小到大插入Trie，这样可对每个节点维护一个区间，表示 满足根到该节点01取值 的序列下标区间。这样枚举时就不需要暴力(O(n))了。

复杂度(O(nlog nlog a_{max}))。基本到不了吧。

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#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
//#define gc() getchar()
#define MAXIN 300000
#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
#define BIT 29
typedef long long LL;
const int N=2e5+5;

int read();
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;
struct Trie
{
    #define ls son[x][0]
    #define rs son[x][1]
    #define S N*31
    int n,A[N],tot,son[S][2],L[S],R[S];
    LL Ans;
    #undef S

    void Insert(int v,int id)
    {
        int x=0;
        for(int i=BIT; ~i; --i)
        {
            int c=v>>i&1;
            if(!son[x][c]) son[x][c]=++tot, L[tot]=R[tot]=id;
            x=son[x][c];
            L[x]=std::min(L[x],id), R[x]=std::max(R[x],id);
        }
    }
    int Query(int x,int v,int bit)
    {
        if(bit<0||L[x]==R[x]) return A[L[x]];//同样注意第0位还可以继续递归== 
        int c=v>>bit&1;
        return son[x][c]?Query(son[x][c],v,bit-1):(son[x][c^1]?Query(son[x][c^1],v,bit-1):0);
    }
    void DFS(int x,int bit)
    {
//      if(bit<0) return;
        if(!bit)
        {
            if(ls&&rs) Ans+=A[L[ls]]^A[L[rs]];//第0位还会有分叉 
            return;
        }
        if(ls&&rs)
        {
            int res=0x7fffffff;
            for(int i=L[ls],r=R[ls],p=rs; i<=r; ++i)
                res=std::min(res,A[i]^Query(p,A[i],bit-1));
            Ans+=res;
        }
        if(ls) DFS(ls,bit-1);
        if(rs) DFS(rs,bit-1);
    }
    void Solve()
    {
        n=read();
        for(int i=1; i<=n; ++i) A[i]=read();
        std::sort(A+1,A+1+n);
        for(int i=1; i<=n; ++i) Insert(A[i],i);
        DFS(0,BIT), printf("%I64d
",Ans);
    }
}T;

inline int read()
{
    int now=0;register char c=gc();
    for(;!isdigit(c);c=gc());
    for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
    return now;
}

int main()
{
    T.Solve();
    return 0;
}