骑马修栅栏

Posted 2021-01-11 mrclr

嘟嘟嘟

 

今天学了个欧拉回路～

理解起来感觉不是很难，证明竟然也看懂了。

首先，得认识这么几个名词：

1.欧拉路径：图中存在一条从s到t的路径，使这条路径经过了所有的边，且每条边之经过一次。简单来说就是这张图可以一笔画出来.

2.欧拉回路：就是欧拉回路中s == t。

3.欧拉图：存在欧拉回路的图。

4.半欧拉图：存在欧拉路径但是不存在欧拉回路的图。

 

然后，有这么几个结论：

1.欧拉图一定是连通的。（废话）

2.欧拉图中每一个点的度数都是偶数。

　　因为对于每一个点，一定是从一条边进入，从一条边离开，而且这些边都不重，所以每一条边的度数都为偶数。

3.半欧拉图中只有两个点的度数为奇数，其余点的度数为偶数，而且这两个点一个是起点，一个是终点。

　　起点的入度比出度少1，终点的入度比出度多1.

4.有向图为欧拉图，当且仅当所有点的入度等于出度。

 

然后怎么找欧拉回路：

以无向图为例：伪代码

 1 void dfs(int x)
 2 {
 3    对于从x出发的所有边(x, y)
 4       如果(x, y)没被访问
 5          标记(x, y),(y, x)为已访问
 6             dfs(y)
 7    把x放入栈
 8 }
 9 
10 int main()
11    倒序输出栈中所有元素

有向图类似。

 

考虑这道题，有个非常烦人的一点：输出字典序最小的。

然后我就想到了这么个方法：用邻接矩阵存图。但这样只有在n比较小的时候才能过……

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cmath>
 5 #include<cstring>
 6 #include<cstdlib>
 7 #include<cctype>
 8 #include<stack>
 9 #include<queue>
10 #include<vector>
11 using namespace std;
12 #define enter puts("")
13 #define space putchar(‘ ‘)
14 #define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
15 #define rg register
16 typedef long long ll;
17 typedef double db;
18 const int INF = 0x3f3f3f3f;
19 const db eps = 1e-8;
20 const int maxn = 505;
21 inline ll read()
22 {
23   ll ans = 0;
24   char ch = getchar(), las = ‘ ‘;
25   while(!isdigit(ch)) las = ch, ch = getchar();
26   while(isdigit(ch)) ans = ans * 10 + ch - ‘0‘, ch = getchar();
27   if(las == ‘-‘) ans = -ans;
28   return ans;
29 }
30 inline void write(ll x)
31 {
32   if(x < 0) putchar(‘-‘), x = -x;
33   if(x >= 10) write(x / 10);
34   putchar(x % 10 + ‘0‘);
35 }
36 
37 int m, n = -1;
38 int G[maxn][maxn], du[maxn];
39 
40 stack<int> st;
41 void euler(int now)
42 {
43   for(int i = 1; i <= n; ++i)
44     if(G[now][i])
45       {
46     G[now][i]--; G[i][now]--;
47     euler(i);
48       }
49     st.push(now);
50 }
51 
52 int main()
53 {
54   m = read();
55   for(int i = 1; i <= m; ++i)
56     {
57       int x = read(), y = read();
58       n = max(n, max(x, y));
59       G[x][y]++; G[y][x]++;
60       du[x]++; du[y]++;
61     }
62   bool flg = 1;
63   for(int i = 1; i <= n && flg; ++i) if(du[i] & 1) {euler(i); flg = 0;}
64   if(flg) euler(1);
65   while(!st.empty()) {write(st.top()); enter; st.pop();}
66   return 0;
67 }

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