CH5402 选课树形DP背包

Posted 2021-01-11 wyboooo

5402 选课 0x50「动态规划」例题

描述

学校实行学分制。每门的必修课都有固定的学分，同时还必须获得相应的选修课程学分。学校开设了 N(N≤300) 门的选修课程，每个学生可选课程的数量 M 是给定的。学生选修了这 M 门课并考核通过就能获得相应的学分。
在选修课程中，有些课程可以直接选修，有些课程需要一定的基础知识，必须在选了其他的一些课程的基础上才能选修。例如《Windows程序设计》必须在选修了《Windows操作基础》之后才能选修。我们称《Windows操作基础》是《Windows程序设计》的先修课。每门课的直接先修课最多只有一门。两门课可能存在相同的先修课。
你的任务是为自己确定一个选课方案，使得你能得到的学分最多，并且必须满足先修条件。假定课程之间不存在时间上的冲突。

输入格式

输入文件的第一行包括两个整数N、M（中间用一个空格隔开）其中1≤N≤300,1≤M≤N。 
以下N行每行代表一门课。课号依次为1，2，…，N。每行有两个数（用一个空格隔开），第一个数为这门课先修课的课号（若不存在先修课则该项为0），第二个数为这门课的学分。学分是不超过10的正整数。  

输出格式

输出文件只有一个数,实际所选课程的学分总数。

样例输入

7 4
2 2
0 1
0 4
2 1
7 1
7 6
2 2

样例输出

13

题意：

从n门课中选出m门课，使得他们的学分和最大。有的课程有先修课。

思路：

n门课构成了一个森林，给他们添加一个编号为0的虚拟节点，表示没有先修课的课程的先修课。

dp[x][t]表示在以x为根的树中选出t门能获得的最高学分。他是由他的子树的最大值加上自己的学分得来。

 

实际上是一个分组背包模型。有p|son(X)|组物品，每组物品有t-1个，其中第i组的第j个物品的体积为j，价值为dp[yi,j]，背包的总容积为t-1。（yi是x的儿子）我们要从每组中选出不超过1个物品，使得物品体积不超过t-1的前提下，物品价值总和最大。x=0是一个特例。

 

背包类树形DP，又称有树形依赖的背包问题。除了以“节点编号”作为树形DP的几阶段，通常我们也像线性DP一样，把当前背包的“体积”作为第二维状态。

 1 //#include <bits/stdc++.h>
 2 #include<iostream>
 3 #include<cmath>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<stdio.h>
 6 #include<cstring>
 7 #include<vector>
 8 #include<map>
 9 
10 #define inf 0x3f3f3f3f
11 using namespace std;
12 typedef long long LL;
13 
14 int n, m;
15 const int maxn = 305;
16 vector<int>son[maxn];
17 int sco[maxn];
18 int dp[maxn][maxn];
19 
20 void dfs(int x)
21 {
22     dp[x][0] = 0;
23     for(int i = 0; i < son[x].size(); i++){
24         int y = son[x][i];
25         dfs(y);
26         for(int t = m; t >= 0; t--){//当前背包体积
27             for(int j = t; j >= 0; j--){//选课门数（组内物品）
28                 if(t - j >= 0)
29                     dp[x][t] = max(dp[x][t], dp[x][t - j] + dp[y][j]);
30             }
31         }
32     }
33     if(x != 0){
34         for(int t = m; t > 0; t--){
35             dp[x][t] = dp[x][t - 1] + sco[x];
36         }
37     }
38 }
39 
40 int main()
41 {
42     scanf("%d%d", &n, &m);
43     for(int i = 1; i <= n; i++){
44         int f;
45         scanf("%d%d", &f, &sco[i]);
46         son[f].push_back(i);
47     }
48 
49     dfs(0);
50     printf("%d
", dp[0][m]);
51     return 0;
52 }