[codeforces 894 E] Ralph and Mushrooms 解题报告 （SCC+拓扑排序+DP）

Posted 2021-01-11 xxzh

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/894/E

题目大意：

$n$个点$m$条边的有向图，每条边有一个权值，可以重复走。

第$i$次走过某条边权为$w$的边后这条边的边权变成$w-i$，但不能小于等于$0$。

给定起点，询问任意走最多能获得多少的边权

题解：

显然一个强联通分量的边可以全部走到$0$为止。

考虑强连通分量中一条边权为w的边对答案的贡献，$s=w+w-1+w-1-2+w-1-2-3ldots$

设这个式子有$t+1$项，显然有$frac{(t+1)t}{2}<=w$，解得$t=sqrt{2w+0.25}-0.5$，t下取整

那么$s=(t+1)w-frac{(t+2)(t+1)t}{6}$

得到每个强连通分量之后剩下的部分拓扑排序后DP即可

#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cmath>
typedef long long ll;
using namespace std;

const int N=1e6+1000;
const int MAX=1e8+15;
const ll inf=1ll<<60;//这个要足够大，卡了2h... 
int n,m,tot,top,tim,scc,t;
int sta[N],dfn[N],low[N],belong[N],deg[N],head[N];
bool ins[N];
ll dp[N],val[N],sum[N],tmp[N];
struct EDGE
{
    int from,to,nxt;ll w;
}edge[N];
struct node{int v;ll w;};
vector <node> g[N];
inline ll read()
{
    char ch=getchar();
    ll s=0,f=1;
    while (ch<‘0‘||ch>‘9‘) {if (ch==‘-‘) f=-1;ch=getchar();};
    while (ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) {s=(s<<3)+(s<<1)+ch-‘0‘;ch=getchar();}
    return s*f;
}
void add(int u,int v,int w)
{
    edge[++tot]=(EDGE){u,v,head[u],w};
    head[u]=tot; 
}
void tarjan(int x)
{
    dfn[x]=low[x]=++tim;
    ins[x]=1;sta[++top]=x;
    for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
    {
        int y=edge[i].to;
        if (!dfn[y])
        {
            tarjan(y);
            low[x]=min(low[x],low[y]);
        }
        else if (ins[y]) low[x]=min(low[x],dfn[y]);
    }
    if (dfn[x]==low[x])
    {
        ++scc;int k;
        do
        {
            k=sta[top--];
            belong[k]=scc;
            ins[k]=0;
        }
        while(k!=x);
    }
}
inline ll calc(ll x)
{
    ll tt=sqrt(2*x+0.25)-0.5;
    return x+tt*x-(tt+1)*(tt+2)*tt/6;
}
int main()
{
    //for (t=1;tmp[t-1]<MAX;t++) {tmp[t]=tmp[t-1]+t;sum[t]=sum[t-1]+tmp[t];}
    n=read();m=read();
    for (int i=1,u,v,w;i<=m;i++)
    {
        u=read();v=read();w=read();
        add(u,v,w);
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) if (!dfn[i]) tarjan(i);
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u=edge[i].from,v=edge[i].to;
        u=belong[u],v=belong[v];
        if (u==v) val[u]+=calc(edge[i].w);
    }
    for (int u=1;u<=n;u++)
    {
        for (int i=head[u];i;i=edge[i].nxt)
        {
            int v=edge[i].to;
            int bu=belong[u],bv=belong[v];
            if (bu==bv) continue;
            g[bu].push_back((node){bv,edge[i].w+val[bv]});
            deg[bv]++;
        }
    }
    int st=read();st=belong[st];
    queue <int> q;
    for (int i=1;i<=scc;i++) dp[i]=-inf;dp[st]=val[st];
    for (int i=1;i<=scc;i++) if (!deg[i]) q.push(i);
    while (!q.empty()){
        int k=q.front();q.pop();
        for (int i=0;i<g[k].size();i++){
            int y=g[k][i].v;
            if (--deg[y]==0) q.push(y);
            dp[y]=max(dp[y],dp[k]+g[k][i].w);
        }
    }
    ll mx=0;
    for (int i=1;i<=scc;i++) mx=max(mx,dp[i]);
    printf("%lld
",mx);
    return 0;
}