后缀自动机练习专题

Posted 2021-01-11 mangoyang

tags:

篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了后缀自动机练习专题相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

后缀自动机练习专题

一些比较有用的东东：

(1) ( ext{sam}) 上一条从初始状态出发的路径对应一个子串
(2) ( ext{parent}) 树上一个节点能表示的最长的串对应一个前缀/后缀
(3) (len(u)) 表示节点 (u) 能表示的最长串的长度
(4) (fa(u)) 表示节点 (u) 的后缀链接指向的节点，也就是其在 ( ext{parent}) 树上的父亲
(5) 表示两个后缀的公共前缀的节点是两个后缀在 ( ext{parent}) 树上的 (lca)
(6) (R(u)) 表示节点 (u) 的 ( ext{right}) 集合，(sz(u)) 表示 (R(u)) 的大小，(R(u) subset R(fa(u)), sz(u) < sz(fa(u)))
(7) 广义 ( ext{sam}) 可以理解为一个 ( ext{sam}) 维护多个串，每一次插入完一个串后将 (tail) 指针设为初始状态

SPOJ 1811 Longest Common Substring

给出两个串 (s, t)，求这 (s, t) 的最长公共子串，(|s|, |t| leq 2.5 imes 10^5)

? 对于 (s) 建 ( ext{sam}) ，根据 (1) 可以将 (t) 放进 ( ext{sam}) 匹配，当失配时相当于要要从当前匹配到的串的一个后缀继续开始匹配，等价于在 ( ext{sam}) 上跳 (fa(u)) 。可以证明这样一定能匹配到最长公共子串。

SPOJ 1812 Longest Common Substring II

给出 (n) 个串，求这个 (n) 个串的最长公共子串，(1 leq n leq 10, |s| leq 10^5)

? 和上题类似的，还是取出一个串建 ( ext{sam})，可以求出每一个节点被多少个串匹配到了，那么答案就是 (max(len(u)))，(u) 是被 (n - 1) 个串匹配到的节点。考虑每一次匹配到某个节点的时候，根据 (6)，其祖先代表的串也会被匹配到，所以每一个串匹配完以后还要更新其祖先的匹配次数，暴力向上跳即可。

? 另外一种做法，考虑串数只有 (10) ，可以建一个广义 ( ext{sam}) 将所有串放进去，用二进制维护 (R(u)) 是否包含来自某个串的后缀，当一个节点包含来自所有串的后缀时，其就可以对答案产生贡献。当 (n) 比较大的情况可以用 ( ext{bitset}) 或者线段树合并来维护。

SPOJ 7258 Lexicographical Substring Search

给出一个串 (s)，以及(q) 次询问，每次询问 (s) 中第 (k) 小的子串，重复的子串仅算一次， (|s| leq 9 imes 10^4, q leq 500)

? 可以不考虑 ( ext{parent}) 树，只考虑 (1) ，计算出每一个节点向下走能走到的路径数量。由于要求的是字典序第 (k) 小，每一次二分出从这个节点出发应该走的转移边的字符是什么，向下走即可。这样做复杂度是 (O(|s|q))，由于 (q) 不大，足以通过此题。

? 实际上考虑 ( ext{parent}) 可以进一步优化算法的复杂度，考虑原先的 ( ext{parent}) 树一个节点代表的多个串都是最长的串的一个后缀，是一棵类似于前缀树的结构，这样不能适用于一些字典序上优美的性质。不妨将串反序插入到( ext{sam}) 中，这样每一个点能代表的多个串都是最长的串的前缀，这些串从长到短在字典序上一定是有序的。扩展到整棵树上，根据 (mn(u) = len(fa(u)) + 1) ，每个点代表的字符串都比其祖先代表的字符串的字典序大。于是可以计算出每一棵子树代表了多少串，在 ( ext{dfn}) 序上二分答案即可，复杂度是 (O(qlogn))。

「TJOI2015」弦论

给出一个串 (s) ，根据题目要求来求出相同子串算一个或多个的第 (k) 小子串 (|s| leq 5 imes 10^5)

? 第一问和上一题完全等价，考虑第二问的情况，一个子串在 (s) 中的出现次数就是其对应 ( ext{parent}) 树节点的 ( ext{right}) 集合大小，也就是 (sz(u)) ，只需要对于每一条路径把权值为 (sz(u)) 进行统计即可。

Codechef January Challenge 2018 - Killjee and k-th letter

给出一个的串 (s)，将 (s) 所有子串按照字典序排列好相接起来形成一个新串，(q) 次询问，每一次询问问新串中的第 (k) 个字符是什么，强制在线。(|s|, q leq 2 imes 10^5)

? 考虑上上题给基于 ( ext{parent}) 的做法，反序插入后每个节点代表的字符串在 ( ext{dfn}) 序上是有序的，所以只要求出每一个节点代表的串的数量，然后对 ( ext{dfn}) 序进行二分求出答案在哪个节点代表的子串上。考虑一个子串其所代表的串长度是从 ([len(fa(u))+1,len(u)]) 连续的，可以直接求出 (k) 对应的子串是从节点 (u) 对应的后缀的多少位，查找该位置在原串上的字符即可

Codeforces 873 F. Forbidden Indices

有一个串 (s)，(s) 的有些位置是非法的，求所有不以非法位置为结尾的子串 (a) ，(sum|a| imes tot(a)) 的值，其中 (tot(a)) 表示 (a) 在 (s) 中的出现次数。(|s| leq 2 imes 10^5)

? ( ext{parent}) 树上一个节点代表的串的总数就是 ((len(u)-len(fa(u))) imes sz(u)) ，维护出每一个串不含非法位置的 ( ext{right}) 集合大小后直接求和

「AHOI2013」差异

给出一个串 (s) ，对于其所有后缀 (t_i, t_j) ，求 (sum len(t_i)+len(t_j) - 2len(lcp(t_i, t_j))) 的值, (|s| leq 5 imes 10^5)

? 考虑将串反序插入到 ( ext{parent}) 树后，两个后缀节点的 ( ext{lcp}) 就是他们的 ( ext{lca}) ，那么可以树形 ( ext{dp}) 出以每一个节点作为 ( ext{lca}) 时得到的 (sum len(t_i)+len(t_j) - 2len(u)) ，最后对所有节点求和就是答案

「NOI2015」品酒大会

给出一个串 (s) 和一个序列 (a) ，对于所有 (i) ，求出 (lcp(x, y) geq i) 的方案数以及满足条件的最大的 (a_x imes a_y) (|s| leq 3 imes 10^5|a_i| leq 10^9)

? 本质上和上一题做法一样，考虑第一问只需要求出对于每一个节点 (u) ，在其子树里选出两个节点 ( ext{lca}) 为 (u) 的方案数即可，第二问稍有复杂，因为权值可正可负，需要分类讨论 ( ext{dp}) 维护最大值和最小值，便于合并相乘时统计答案

「BZOJ3473」字符串 (双倍经验=3277)

给出 (n) 个字符串，求有多少个子串是其中至少 (k) 个字符串的子串，(sum|s| leq 10^5, 1leq k leq n)

? 建立一个广义 ( ext{sam}) ，每次插入一个串后维护一下 ( ext{parent}) 树上哪些节点的 ( ext{right}) 集合已经拥有了来自这个串的后缀，这样每一个新增的插入节点都需要向祖先更新这个信息，根据均值不等式分析，插入所有串的总复杂度是 (O(|s|sqrt|s|))。

? 考虑可以直接用线段树合并维护每一个节点的 ( ext{right}?) 集合有哪些串的后缀，全部建完以后向上合并更新祖先的答案，总复杂度 (O(|s|log|s|)?)。