关于动态树和LCT的一些学习感受（持续更新）

Posted 2021-01-11 ishtar

什么是动态树？

动态树（Dynamic Tree）问题是指在树上动态维护相关信息的问题。

一般的动态树问题中，会要求我们维护一个由若干棵子结点无序的有根树组成的森林。并且要求这个数据结构支持对树的分割（删边），合并（加边），对某个点到它的根的路径的某些操作（路径操作）。有时，动态树问题还会涉及对某个点的子树进行的某些操作（子树操作），而涉及子树操作问题的动态树问题更加复杂，需要用到更加复杂的数据结构。然而蒟蒻并不会做这种高级的题目，所以就讲讲简单的几种操作。

关于LCT的一些笔记

LCT（Link-Cut Trees）是解决这类动态树问题的一种数据结构。这个数据结构可以在均摊O(log n)的时间内实现上述动态树问题。

LCT 的详细介绍，大家可以参考杨哲的《QTREE 解法的一些研究》，这里贴文库链接：https://wenku.baidu.com/view/75906f160b4e767f5acfcedb.html

简单来说，LCT 与树链剖分一样，会对节点的儿子进行划分。树链剖分中根据节点子树大小来划分轻重儿子，并用数据结构维护重链；而 LCT 则会将儿子划分为虚、实两种儿子，相应的边称为虚边或实边，且任意时刻一个节点最多只会有一个实儿子（可能没有）。由于树的形态会改变，因此 LCT 不是严格的划分虚实儿子，而是动态地改变，它同样使用了数据结构来维护实链（连续的实边），并且用的是更加灵活的 Splay.

关于LCT的一些基本定义：

1.深度：深度越大（小），到根节点路径的距离越长（短）。

2.实边：一个非叶节点，向它的儿子中的一个连一条特殊的边，称为实边；该非叶节点向它的其他儿子所引的边均为虚边。注意，对于某些非叶节点，它与它儿子们所连的边可能全部是虚边。

3.实路径（链）：由若干条实边首尾相连而成的、不可伸长的路径称为实路径。由实边的定义可知，实路径上的点深度各不相同且为连续自然数。其中，不可伸长指的是，设一个实路径上最浅节点为 u，则 u 和 u 的父节点之间的边不能是实边；设一个实路径最深节点为 v，则 v和它儿子们所连的边全是虚边。

4.实路径的父亲：可以得出各条实路径之间是由虚边连接，对于一条实路径，我们定义它的实路径父亲（Path_Parent）为它的最浅的节点的父亲，如下图：

其中红色路径为实路径，那么对于2-5-6这条实路径，它的实路径的父亲就为2的父亲，即为1。

关于与LCT的一些基本操作

用 Splay维护实路径：由于每条实路径是由首尾相连的实边构成的，因此实路径上任意两个点都是祖先与子孙的关系。换句话说，如果用深度作为关键字给结点排序，那么我们将得到一个唯一的有序结点序列。

基于这个思想，我们将这个结点序列用平衡树维护，平衡树中每个结点的左子树中结点在实路径中的深度都小于该结点，右子树中的都大于该结点，因此平衡树的最左结点对应该路径的头部，最右结点对应该路径的尾部。

一些基本操作（注意：在操作过程中并不需要考虑Splay的形态，而是只用考虑当前树的形态）：

1.Access(x)：以x为起点一直到根节点构造出一条链。

这是针对某个结点 x 的操作， 该操作将 x 到根结点的路径上的所有边都变为实边， 当然，为了保持实边、虚边划分的性质，一部分原来的实边也要相应变为虚边。注意该操作会将 x下方的实边变为虚边。该操作的步骤如下：

（1）：如果结点 x 不是其所在实路径的尾部， 即 x有子结点与之用实边相连， 那么需要 “断开”这条边（断开并不是将这条边删除，而只是将其转变为虚边）。方法是首先将结点 x用 Splay操作旋转到所在平衡树的根结点，然后 x 肯定有右子树，故将 x 与 x的右子树分离，同时将 x 的右子树的 Path_Parent 设置为 x。

（2）：如果结点 x所在的平衡树包含根结点，那么该过程结束；否则，转步骤(3)；

（3）：设 y 为 x 所在平衡树的 Path_Parent。将 y 用 Splay 操作旋转到其所属平衡树的根结点，并且用 x 所在的平衡树替换 y的右子树，这样就实现了实路径的向上延伸。当然到这里还没有结束，我们需要分离原来 y 的右子树，y原来的右孩子记为 P。此时 P 的 Path_Parent就为 y了，然后继续转步骤(2)。

实际实现时， 我们并不需要显示维护出 Path_Parent， 我们可以稍微更改 Splay中的实现，即我们考虑 Splay中根节点的 fa，我们并不需要将其置为 0，而是将其置为 Path_Parent，这样每个点的父亲，要么是实路径上的点，要么是它所处实路径的 Path_Parent，特别地，这棵树的根节点的 Path_Parent 为 0。这样的话一个点，它的 fa的左右儿子可能都不为它，因此判断根节点的条件也需要稍微修改一下。下面给出具体实现过程的图示（红边表示实边，帕金森晚期患者）：

因为维护的关键字为深度，所以删除前Splay上肯定有x的子树那一段，所以将x通过Splay旋转到根节点处，直接将x的右子树与它分离，并把右子树的Path_Parent改为x（实际操作并不需要）

需要注意的是，将y的右子树换成x所在平衡树后，原右子树的Path_Parent就变成了y。

2.Findroot(x)：找到节点x所在树的根节点。

有了 Access(x)操作，寻找树根的操作就So easy了。我们只要对结点 x 执行Access(x)，便使得 x 与要找的根结点在同一棵平衡树中了。然后，要找的根结点一定是实路径的头部（因为深度最小），即平衡树中的最左结点。

图示：

3.Makeroot(x)：使节点x成为所在树的根节点。

首先我们观察下面这个图：

对于一棵有根树而言，它的父子关系是确定了的，图中由父亲指向儿子。

那么如果我们把2作为整棵树的根呢？那么它就会长这样：

如果还没发现规律的话，我们再以5为整棵树的根：

没错，以谁为根，就是将该点到根节点路径父子关系取反，所以该操作等价于将从结点 x到当前根结点的路径上的所有树边的方向取反。首先执行 Access(x)，我们便已经将该路径取出了。由于路径是用平衡树维护，所以需要执行的是平衡树的区间翻转操作，我们可以借鉴线段树的打标记（懒操作）思想，给平衡树结点也用打标记的方式来完成反序操作。这里由于是对整棵平衡树反序，所以标记应该打在平衡树的根结点处。打标记后注意在其他操作的地方（例如旋转后）及时下传以及更新。

4.Link(x,y)：使x成为y的子节点，也就是连一条(x,y)的边

这只需要执行一次 MakeRoot(x)操作，随后将x的fa置为y即可。

图示：

5.Cut(x,y)：删除树中(x,y)这条边

该操作执行时，首先将 x 置为有根树的根结点，从而保证 y一定是 x 的子结点。再对 y执行 Access 操作，我们便将 x 和 y 合并到同一平衡树中了。此时对 y 执行 Splay 操作使其成为所在平衡树的根结点，同时分离 y和 y 的左子树，便完成了边的删除操作。（此时若树中存在(x,y)这条边，则 y的左子树一定只有 x 这一个节点）。

图示：

6.Select(x,y)：取出（x，y）在树中的路径从而进行区间操作。

执行一次 MakeRoot(x)将 x 置为其所在树的根，再执行一次 Access(y)操作，就将 x 与 y以及它们路径上的所有点整合至同一棵平衡树中了。 此时我们在平衡树的根节点上打上标记或者直接查询信息即可。

图示：

然后就是关于LCT的一些奇奇怪怪的例题，这里给一道：

BZOJ2049：洞穴勘探，题目及题解传送门：（啦啦啦待更）