排座位&&Little Elephant And Permutation——排列dp的处理

Posted 2021-01-10 miracevin

排列的问题，就是要把序列排个序，使之达到某种最优值或者统计方案数

dp可以解决部分排列问题。

通常的解决方案是，按照编号（优先级）排序决策，从左到右决策两种。

这里主要是第一个。

 

排座位
? 有 ?? 个人坐成一排
? 对于相邻两个人 ??, ??
? 如果 ?? < ??，则会产生 ???? + ???? 的愉悦度
? 否则会产生 ???? + ???? 的愉悦度
? 求一个排列让最大化愉悦度
? ?? ≤ 3000

从左到右决策，肯定就要状压了。

但是可以发现，我们并不关心一个i左右是谁，只关心编号和i的相对大小。

而且，这个贡献ai,bj,ci,dj是可以独立的。

思路就比较自然了。

我们按照编号从小到大决策。

每个点i的放置有几种：

1.左右都比i小。

2/3.左/右比i大。

4.左右都比i大。

 

但是麻烦的是，如果直接dp可能最后形成不了一个序列。

不是一个整段。

所以，还要引入段的概念。

 

i的决策是：

1.左右都比i小，即连接之前的两个段。

2/3.左/右比i大，另一个比i小，即连接一个段。

4.左右都比i大，即i自成一段。

每种中，i对答案的贡献可以现场统计。

因为，我们的编号是从小到大处理的，

如果我们能够正确连接的话，这个贡献一定是可以算上的。

 

f[i][j]表示，处理完前编号i个，形成了j段的方案数。

 

还有一个问题是，边界情况，没有左/右，没有这个贡献。

那么可以f[i][j][0/1][0/1]表示是否放了最左边最右边的。

答案:f[n][1][1][1]

 

 

Solution :

假定ai是一个1~n的数列。

对于合法的bi数列，乘上n!就是所有的ai和bi的情况了。

 

这样，贡献就比较好统计了。

dp[i][j][k]表示，处理bi中前i个位置，有j个是空的，贡献是k的方案数。

看这篇题解：

 

其实还有一个题：（虽然不是dp）

有趣的家庭菜园