边双?

Posted 2021-01-10 hehe54321

有一个问题：给出一张连通的无向图，加上最少的边使得它成为边双连通图

网上有一个结论，就是只要求出边双的缩点树，然后找出其中只与一条边相连的点个数k，答案就是(k/2)（上取整）

网上有一些解释

摘自https://www.byvoid.com/zhs/blog/biconnect

统计出树中度为1的节点的个数，即为叶节点的个数，记为leaf。则至少在树上添加(leaf+1)/2条边，就能使树达到边二连通，所以至少添加的边数就是(leaf+1)/2。具体方法为，首先把两个最近公共祖先最远的两个叶节点之间连接一条边，这样可以把这两个点到祖先的路径上所有点收缩到一起，因为一个形成的环一定是双连通的。然后再找两个最近公共祖先最远的两个叶节点，这样一对一对找完，恰好是(leaf+1)/2次，把所有点收缩到了一起。

摘自评论

想请问对于树1--2; 1--3; 1--4; 2--5; 2--6; 3--7; 3--8; 4--9; 4--10. 来说, 依照上述构造双连通图的方法, 第一步可以选择把叶子(5,10) 连起来, 而LCA(5,10) 是1 (Root), 为最远的. 接着同理, 连接叶子(6,9). 则最后只剩下叶子(7,8) 可选, 此时便出现无解的情况了, 若遇到这种情况是不是会发生问题呢? 似乎采用编号法可以解决这个问题.

好像有一点小问题？怎么证明/构造？

试着再给一个证明（有错的，只是先记一下）

首先，k个点中每一个点都必须加一条边，否则不可能使得图边双连通，因此答案的一个下界为将它们两两连接的代价：(k/2)（上取整）

然后给一种构造方法，是以上方法的改版：

每一次找到树中某两个点，然后在这两个点之间连一条边，那么这两个点路径上所有点都可以被缩成一个点

将这些点缩起来，之后仍然为一棵树，且其余只与一条边相连的点不受影响（毕竟绝对不可能被缩进去的）,也不会产生新的只与一条边相连的点（除了最后的几次缩点操作之外）（这个真的能够保证吗？给出一种尝试：产生新的只与一条边相连的点，当且仅当两点间的路径上（除两点外）只有最多一个点与路径外的点有最多一条边相连；设法证明每一次都可以避开这样的选择方案（怎么证？））

显然任意一次操作中都能找到这样的两个点，直到只剩1或0个只与一条边的点；只剩1个点时随便找一个点连起来即可

这样每次一定能少掉2个（最后一次可能为1个）只与一条边相连的节点，总代价为(k/2)（上取整）