快速幂和快速幂取模
Posted heyonghu
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了快速幂和快速幂取模相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
首先,快速幂的目的就是做到快速求幂,假设我们要求a^b,按照朴素算法就是把a连乘b次,这样一来时间复杂度是O(b)也即是O(n)级别,快速幂能做到O(logn),快了好多好多。它的原理如下:
假设我们要求a^b,那么其实b是可以拆成二进制的,该二进制数第i位的权为2^(i-1),例如当b==11时,a^11=a^(2^0+2^1+2^3)
int poww(int a,int b){ int ans=1,base=a; while(b!=0){ if(b&1!=0) ans*=base; base*=base; b>>=1; } return ans; }
代码很短,死记也可行,但最好还是理解一下吧,其实也很好理解,以b==11为例,b=>1011,二进制从右向左算,但乘出来的顺序是 a^(2^0) * a^(2^1) * a^(2^3),是从左向右的。我们不断的让base*=base目的即是累乘,以便随时对ans做出贡献。
其中要理解base*=base这一步,看:::base*base==base^2,下一步再乘,就是base^2*base^2==base^4,然后同理 base^4 * base4 = base^8 ,,,,, see?是不是做到了base-->base^2-->base^4-->base^8-->base^16-->base^32.......指数正是 2^i 啊,再看上面的例子,a11 = a^(2^0) * a^(2^1) * a^(2^3),这三项是不是完美解决了,,嗯,快速幂就是这样。
顺便啰嗦一句,由于指数函数是爆炸增长的函数,所以很有可能会爆掉int的范围,根据题意决定是用 long long啊还是unsigned int啊还是mod某个数啊自己看着办。
还有,矩阵快速幂的求法唯一的区别就是*换成矩阵中的乘法,写个函数代换嘛,思想一毛一样。
快速幂取模:(万变不离其中!!!)
int power(int a, int b, int mod) { int ans = 1, base = a%mod; while (b!=0) { if (b & 1!=0) ans = (ans*base)%mod; base=(base*base)%mod; b >>= 1; } return res; }
以上是关于快速幂和快速幂取模的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章