Modular arithmetic and Montgomery form 实现快速模乘

Posted 2021-01-10 solvit

题目：

电音之王

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题解：

求数列前n项相乘并取模

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思路：

①、这题的乘法是爆long long的，可以通过快速幂的思想去解决（按数位对其中的一个数进行剖分）。当然你的乘法会多出一个log的复杂度...

②、O(1)快速乘：一种O(1)复杂度求解整数相乘取模的思路（它对于64位的整型也是适用的）：

　　来自2009年国家集训队论文：骆可强：《论程序底层优化的一些方法与技巧》 （参考中附原文链接）

typedef long long ll;
#define MOL 123456789012345LL

inline ll mul_mod_ll(ll a,ll b)
{
    ll d = (ll)floor(a * (double)b / MOL + 0.5);
    ll ret = a * b - d * MOL;
    if(ret < 0) ret += MOL;
    return ret;
}

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③、正解：dls一句话题解（当然是看不懂了...）

　　参考中附一篇Montgomery Modular Multiplication的博客（当然也是看不懂了...日文）

题解：（dls的代码）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<n;i++)
#define per(i,a,n) for (int i=n-1;i>=a;i--)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define fi first
#define se second
#define SZ(x) ((int)(x).size())
typedef vector<int> VI;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
const ll mod=1000000007;
ll powmod(ll a,ll b) {ll res=1;a%=mod; assert(b>=0); for(;b;b>>=1){if(b&1)res=res*a%mod;a=a*a%mod;}return res;}
ll gcd(ll a,ll b) { return b?gcd(b,a%b):a;}
// head
 
typedef unsigned long long u64;
typedef __int128_t i128;
typedef __uint128_t u128;
int _,k;
u64 A0,A1,M0,M1,C,M;
 
struct Mod64 {
    Mod64():n_(0) {}
    Mod64(u64 n):n_(init(n)) {}
    static u64 init(u64 w) { return reduce(u128(w) * r2); }
    static void set_mod(u64 m) {
        mod=m; assert(mod&1);
        inv=m; rep(i,0,5) inv*=2-inv*m;
        r2=-u128(m)%m;
    }
    static u64 reduce(u128 x) {
        u64 y=u64(x>>64)-u64((u128(u64(x)*inv)*mod)>>64);
        return ll(y)<0?y+mod:y;
    }
    Mod64& operator += (Mod64 rhs) { n_+=rhs.n_-mod; if (ll(n_)<0) n_+=mod; return *this; }
    Mod64 operator + (Mod64 rhs) const { return Mod64(*this)+=rhs; }
    Mod64& operator -= (Mod64 rhs) { n_-=rhs.n_; if (ll(n_)<0) n_+=mod; return *this; }
    Mod64 operator - (Mod64 rhs) const { return Mod64(*this)-=rhs; }
    Mod64& operator *= (Mod64 rhs) { n_=reduce(u128(n_)*rhs.n_); return *this; }
    Mod64 operator * (Mod64 rhs) const { return Mod64(*this)*=rhs; }
    u64 get() const { return reduce(n_); }
    static u64 mod,inv,r2;
    u64 n_;
};
u64 Mod64::mod,Mod64::inv,Mod64::r2;
 
u64 pmod(u64 a,u64 b,u64 p) {
    u64 d=(u64)floor(a*(long double)b/p+0.5);
    ll ret=a*b-d*p;
    if (ret<0) ret+=p;
    return ret;
}
 
 
void bruteforce() {
    u64 ans=1;
    for (int i=0;i<=k;i++) {
        ans=pmod(ans,A0,M);
        u64 A2=pmod(M0,A1,M)+pmod(M1,A0,M)+C;
        while (A2>=M) A2-=M;
        A0=A1; A1=A2;
    }
    printf("%llu
",ans);
}
 
int main() {
    for (scanf("%d",&_);_;_--) {
        scanf("%llu%llu%llu%llu%llu%llu%d",&A0,&A1,&M0,&M1,&C,&M,&k);
        Mod64::set_mod(M);
        Mod64 a0(A0),a1(A1),m0(M0),m1(M1),c(C),ans(1),a2(0);
        for (int i=0;i<=k;i++) {
            ans=ans*a0;
            a2=m0*a1+m1*a0+c;
            a0=a1; a1=a2;
        }
        printf("%llu
",ans.get());
    }
}

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参考：

论程序底层优化的一些方法与技巧

除算?剰余算の高速化