类欧几里得算法浅谈(部分)

Posted 2021-01-10 katoukatou

学习类欧几里得算法,因为是蒟蒻,感觉网上很多都看不懂,所以自己写一篇快活快活

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第一类求和式:

(F(a,b,c,n)=sum_{i=0}^nlfloorfrac{a*i+b}{c} floor)

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对于这样形式的求和,我们有以下的推导:

1.当(a>=c)并且(b>=c)时,我们有:

对于(lfloorfrac{a}{c} floor),

它实际等价于(lfloorfrac{amod c}{c} floor+lfloorfrac{a}{c} floor),

于是对于原先的式子,我们可以推出:

(F(a,b,c,d,n)=sum_{i=0}^nlfloorfrac{a*i+b}{c} floor) =(sum_{i=0}^n(lfloorfrac{amod c*i+bmod c}{c} floor+lfloorfrac{a*i}{c} floor+lfloorfrac{b}{c} floor))

进一步化为递归的形式就是:

(F(a\%c,b\%c,c,n)+frac{(n+1)n}{2}*lfloorfrac{a}{c} floor+(n+1)*lfloorfrac{b}{c} floor)

2.当(a<c)或者(b<c)时我们有:

我们观察可以很容易的发现,原先的和式的右边一大堆,去掉下取整实际上表示出来就是一条直线,即:

(F=kx+b),((k=frac{a}{c},b=frac{b}{c})),

然后我们就可以轻轻松松的画出一个一次函数的图像,在坐标系里表现出的就是一个直角梯形,函数的定义域(Din[0,n]),函数的值域(Zin[b,m]),其中令(m=frac{a*n+b}{c}),也就是当(i)等于(n)时的值.我们要求定义域内函数值的和,自然就是求积分,也就是这个直角梯形的面积.然后加上下整除符号,我们需要求出的就是这个梯形内整点的个数.

我们枚举所有整点的纵坐标,就有:

(F=sum_{i=0}{n}sum_{j=1}{m}[lfloorfrac{a*i+b}{c} floor>=j])

(=sum_{i=0}{n}sum_{j=0}{m-1}[lfloorfrac{a*i+b}{c} floor>=j+1])

对于([lfloorfrac{a*i+b}{c} floor>=j+1]),我们知道,大于等于去掉下整除依旧成立,于是

(=sum_{i=0}^{n}sum_{j=0}^{m-1}[(frac{a*i+b}{c})>=j+1])

将分母乘过去,(b)移过去:

(=sum_{i=0}^{n}sum_{j=0}^{m-1}[a*i>=j*c+c-b])

(a)除过去:

(=sum_{i=0}^{n}sum_{j=0}^{m-1}[i>=frac{(j*c+c-b)}{a}])

我们注意到,(j)的变化与(i)是无关的,于是我们可以将两个(sum)交换

(=sum_{j=0}^{m-1}sum_{i=0}^{n}[i>=frac{(j*c+c-b)}{a}])

(=sum_{j=0}^{m-1}sum_{i=0}^{n}[i>frac{(j*c+c-b-1)}{a}])

(分子减一,去掉等号)

去掉内层(sigma):

(=sum_{j=0}^{m-1} n-frac{(j*c+c-b-1)}{a})

(这个显然等价)

(=n*m-sum_{j=0}^{m-1} frac{(j*c+c-b-1)}{a})

老规矩,转换成递归形式:

(=n*m-F(c,c-b-1,a,m-1))

(完)

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(待补)