浅谈Tarjan

Posted 2021-01-10 wwhhtt

Tarjan 算法一种由Robert Tarjan提出的求解有向图强连通分量的算法，它能做到线性时间的复杂度。（每个点只经过一次）

说到Tarjan,我们首先要输破的肯定是有向图，因为无向图没有这么一个东西

这句要从Tarjan算法的定义讲起了

我们定义：

如果两个顶点可以相互通达，则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。

 这句话在网上是非常普及的，然而说白了就是一个联通块，从每两个点之间都能互相到达，就是一个强连通分量

而Tarjan的作用，就是很快的求出一个有向图中强连通分量的个数，以及每个强连通分量中的点

具体是如何实现的

我们记录两个数组

DFN和LOW，他们分别记录每个点的DFS序，和每个点能回到的点的最小的DFS序

这么说可能不太清晰

我们来举个栗子：（方便起见，我们把走到的点表为红色）

 

按照惯例，我们从点1出发，首先是到了他的儿子2，然后是3

此时 DFN[1]=1

        LOW[1]=1

        DFN[2]=2;

        LOW[2]=2;

        DFN[3]=3;

        LOW[3]=3;

        DFN[4]=0;

        LOW[4]=0;

我们发现三没有儿子了，也就是说LOW[3]的值无法改变了，又发现DFN[3]=LOW[3]

所以我们就知道了3构成了一个强连通分量

然后继续走

 

我们到了2的另一个儿子处

此时 DFN[1]=1

        LOW[1]=1

        DFN[2]=2;

        LOW[2]=2;

        DFN[3]=3;

        LOW[3]=3;

        DFN[4]=4;

        LOW[4]=4；

然后就到了最重要的一步

4有一个儿子是1，但是1已经走过了

所以我们可以直接更新LOW[4]的值

此时 DFN[1]=1

        LOW[1]=1

        DFN[2]=2;

        LOW[2]=2;

        DFN[3]=3;

        LOW[3]=3;

        DFN[4]=4;

        LOW[4]=1;

既然1已经走过了我们就不用再走了（要不然怎么线性）

开始回溯

我们更新LOW[2]的值

此时 DFN[1]=1

        LOW[1]=1

        DFN[2]=2;

        LOW[2]=1;

        DFN[3]=3;

        LOW[3]=3;

        DFN[4]=4;

        LOW[4]=1;

然后回到1，Tarjan算法结束

---

以上是Tarjan的具体运算过程

但是其中还有一些简单的染色操作

就不细讲了（代码中给了注释）

下面给出代码：（写代码过程中电脑突然卡了，结果刚写完的模板和注释都没了   伤心到变形QAQ）

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<stack>
using namespace std;
inline int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
inline int max(int a,int b){return a>b?a:b;}
inline int rd(){
    int x=0,f=1;
    char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c==‘-‘) f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-‘0‘;
    return x*f;
}
inline void write(int x){
     if(x<0) putchar(‘-‘),x=-x;
     if(x>9) write(x/10);
     putchar(x%10+‘0‘);
}
int n,m;
int head[100006];
int nxt[100006],to[100006];
int total=0;
int dfn[100006],low[100006];
int tot=0;
int book[100006],color[100006];
int cnt=0;
stack <int> s;
void add(int x,int y){
    total++;
    to[total]=y;
    nxt[total]=head[x];
    head[x]=total;
    return ;
}
void tarjan(int x){
    dfn[x]=++tot;
    low[x]=dfn[x];
    book[x]=1;
    s.push(x);
    for(int e=head[x];e;e=nxt[e]){
        if(!dfn[to[e]]){//如果没有走过，就扩展这个点 
            tarjan(to[e]);
            low[x]=min(low[x],low[to[e]]);
        }
        else if(book[to[e]]) low[x]=min(low[x],low[to[e]]);//在栈中就代表这个点走过，而他可以回溯到的点，他的父亲也可以 
    }
    if(dfn[x]==low[x]){//如果一个点的dfn与low相等，代表以它为根的子图是强联通分量 
        color[x]=++cnt;//染色 
        book[x]=0;
        while(!s.empty()&&s.top()!=x){//把与x联通的点都出栈 
            color[s.top()]=cnt;
            book[s.top()]=0;
            s.pop();
        }
        s.pop();
    }
    return ;
}
int main(){
    n=rd(),m=rd();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x=rd(),y=rd();
        add(x,y);//有向图单向连边 
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i);//避免有的点不连通 
    printf("%d
",cnt);
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++) if(color[j]==i) printf("%d ",j);//其实是可以写在tarjan过程中的的，但是会变成dfs序的倒序 
        puts("");
    }
    return 0;
}