LUOGU P4777 模板扩展中国剩余定理（EXCRT）

Posted 2021-01-10 sdfzsyq

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解题思路

扩展 $crt?$，就是中国剩余定理在模数不互质的情况下，首先对于方程

?     $egin{cases} xequiv a_1mod m_1\xequiv a_2mod m_2end{cases}$

来说，可以将其写为：



$egin{cases} x=k_1*m_1+a_1\x=k_2*m_2+a_2end{cases}$



然后联立方程：

?     $k_1*m_1+a_1=k_2*m_2+a_2$

$Leftrightarrow -k_1*m_1+k_2*m_2=a_1-a_2$

a这样的话形式就很像$exgcd$ 了，可以$exgcd$求出$k_1‘*m_1+k_2‘*m_2=gcd(m_1,m_2)$的$k_1‘$了，然后若$(a_1-a_2)\%gcd(m_1,m_2) eq 0$，则无解。然后让方程两边同时乘$(a_1-a_2)/gcd(m_1,m_2)$，就可以求出$k_1$了，最后再带入原式可以求出$x$的值，这个$x$记为$x_0$ ，即为满足上面两个方程的一个解，然后将这两个方程

合并成一个方程：$xequiv x_0mod lcm(m_1,m_2)$，之后就可以一直合并就行了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>

using namespace std;
const int MAXN = 100005;
typedef long long LL;
//typedef __int128 LL;

inline LL rd(){
    LL x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {f=ch==‘-‘?0:1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))  {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-‘0‘;ch=getchar();}
    return f?x:-x;
}

int n;
LL a[MAXN],b[MAXN],M,R;

LL slow_mul(LL x,LL y,LL mod){
    LL ret=0;
    for(;y;y>>=1){
        if(y&1) ret=(ret+x)%mod;
        x=(x+x)%mod;
    }
    return ret;
}

LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
    if(!b) {x=1;y=0;return a;}
    LL now=exgcd(b,a%b,x,y);
    LL t=x;x=y;y=t-(a/b)*y;
    return now;
}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=rd(),b[i]=rd();
    M=a[1];R=b[1];LL x,y,d,now;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        d=exgcd(M,a[i],x,y);
//        if((R-r[i])%d!=0) puts("-1");
        now=((R-b[i])%a[i]+a[i])%a[i];
        x=slow_mul(x,now/d,a[i]);R-=M*x;
        M=M*(a[i]/d);R=(R%M+M)%M;
    }
    printf("%lld",(R%M+M)%M);
    return 0;
}

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