Luogu P3953 逛公园(最短路+记忆化搜索)

Posted 2021-01-10 coder-uranus

P3953 逛公园

题面

题目描述

策策同学特别喜欢逛公园。公园可以看成一张 (N) 个点 (M) 条边构成的有向图，且没有自环和重边。其中 (1) 号点是公园的入口，(N) 号点是公园的出口，每条边有一个非负权值， 代表策策经过这条边所要花的时间。

策策每天都会去逛公园，他总是从 (1) 号点进去，从 (N) 号点出来。

策策喜欢新鲜的事物，它不希望有两天逛公园的路线完全一样，同时策策还是一个 特别热爱学习的好孩子，它不希望每天在逛公园这件事上花费太多的时间。如果 (1) 号点到 (N) 号点的最短路长为 (d) ，那么策策只会喜欢长度不超过 (d + K) 的路线。

策策同学想知道总共有多少条满足条件的路线，你能帮帮它吗？

为避免输出过大，答案对 (P) 取模。

如果有无穷多条合法的路线，请输出 (-1) 。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含一个整数 (T) ,代表数据组数。

接下来 (T) 组数据，对于每组数据： 第一行包含四个整数 (N,M,K,P) ，每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来 (M) 行，每行三个整数 (a_i,b_i,c_i) ，代表编号为 (a_i,b_i) 的点之间有一条权值为 (c_i) 的有向边，每两个整数之间用一个空格隔开。

输出格式：

输出文件包含 (T) 行，每行一个整数代表答案。

输入输出样例

输入样例：

2
5 7 2 10
1 2 1
2 4 0
4 5 2
2 3 2
3 4 1
3 5 2
1 5 3
2 2 0 10
1 2 0
2 1 0

输出样例：

3
-1

说明

【样例解释1】

对于第一组数据，最短路为 (3) 。 (1 - 5, 1 - 2 - 4 - 5, 1 - 2 - 3 - 5) 为 (3) 条合法路径。

【测试数据与约定】

对于不同的测试点，我们约定各种参数的规模不会超过如下

测试点编号	(T)	(N)	(M)	(K)	是否有 (0) 边
(1)	(5)	(5)	(10)	(0)	否
(2)	(5)	(1000)	(2000)	(0)	否
(3)	(5)	(1000)	(2000)	(50)	否
(4)	(5)	(1000)	(2000)	(50)	否
(5)	(5)	(1000)	(2000)	(50)	否
(6)	(5)	(1000)	(2000)	(50)	是
(7)	(5)	(100000)	(200000)	(0)	否
(8)	(3)	(100000)	(200000)	(50)	否
(9)	(3)	(100000)	(200000)	(50)	是
(10)	(3)	(100000)	(200000)	(50)	是

对于 $100 % $ 的数据, (1 le P le 10^9,1 le a_i,b_i le N ,0 le c_i le 1000) 。

数据保证：至少存在一条合法的路线。

思路

(NOIP2017 / DAY1 / T3)

首先我们求出每个点到 (n) 结点（公园出口）的距离，然后定义一个变量 (dp[i][j]) 表示比从 (i) 点出发到达 (n) 点的最短路长小于等于 (j) 的路径有多少条。然后我们逐步向后遍历整张图，求出的 (dp[1][K]) 就是题目要求的答案。遍历过程中我们可以用记忆化搜索的形式来优化时间复杂度。

那怎么判断无数多条合法情况呢？再定义一个变量 (in[i][j]) 表示在当前遍历过程中我们是否有在求 (dp[i][j]) 。如果有，说明搜索成环，直接返回 (-1) 。

具体实现代码如下：

LL dfs(LL now,LL k)
{
    if(in[now][k]) return -1;//成环
    if(dp[now][k]) return dp[now][k];//记忆化搜索
    in[now][k]=true,dp[now][k]=0;//开始搜索
    if(now==n) dp[now][k]=1;//搜到结尾时为一种情况
    for(LL i=top[now];i;i=nex[i])
    {
        LL delta=dis[to[i]]-dis[now]+len[i];//与最短路之间的差距
        if(delta<=k)
        {
            LL tmp=dfs(to[i],k-delta);
            if(tmp==-1) return -1;//成环
            dp[now][k]=(dp[now][k]+tmp)%p;
        }
    }
    in[now][k]=false;//结束搜索
    return dp[now][k];
}

函数调用入口就是：

printf("%lld
",dfs(1,K));

怨念--;

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL MAXN=100005;
LL T,n,m,K,p,dp[MAXN][55],dis[MAXN];
LL cnt,top[MAXN],to[MAXN<<1],len[MAXN<<1],nex[MAXN<<1];
LL __cnt,__top[MAXN],__to[MAXN<<1],__len[MAXN<<1],__nex[MAXN<<1];
bool vis[MAXN],in[MAXN][55];
LL read()
{
    LL re=0;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return re;
}
void SPFA()
{
    memset(dis,0x3f,sizeof dis);
    memset(vis,false,sizeof vis);
    dis[n]=0;
    queue<LL>Q;
    Q.push(n);
    while(!Q.empty())
    {
        LL now=Q.front();Q.pop();
        vis[now]=false;
        for(LL i=__top[now];i;i=__nex[i])
            if(dis[__to[i]]>dis[now]+__len[i])
            {
                dis[__to[i]]=dis[now]+__len[i];
                if(!vis[__to[i]])
                {
                    vis[__to[i]]=true;
                    Q.push(__to[i]);
                }
            }
    }
}
LL dfs(LL now,LL k)
{
    if(in[now][k]) return -1;
    if(dp[now][k]) return dp[now][k];
    in[now][k]=true,dp[now][k]=0;
    if(now==n) dp[now][k]=1;
    for(LL i=top[now];i;i=nex[i])
    {
        LL delta=dis[to[i]]-dis[now]+len[i];
        if(delta<=k)
        {
            LL tmp=dfs(to[i],k-delta);
            if(tmp==-1) return -1;
            dp[now][k]=(dp[now][k]+tmp)%p;
        }
    }
    in[now][k]=false;
    return dp[now][k];
}
int main()
{
    T=read();
    while(T--)
    {
        n=read(),m=read(),K=read(),p=read(),cnt=__cnt=0;
        memset(dp,0,sizeof dp);
        memset(top,0,sizeof top);
        memset(__top,0,sizeof __top);
        memset(in,false,sizeof in);
        while(m--)
        {
            LL x=read(),y=read(),z=read();
            to[++cnt]=y,len[cnt]=z,nex[cnt]=top[x],top[x]=cnt;
            __to[++__cnt]=x,__len[__cnt]=z,__nex[__cnt]=__top[y],__top[y]=__cnt;
        }
        SPFA();
        printf("%lld
",dfs(1,K));
    }
    return 0;
}