欧拉回路混合图的欧拉回路

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了欧拉回路混合图的欧拉回路相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

欧拉回路

从一个点开始把图中的边恰好经过一次,再回到出发点,这样的路径就是欧拉回路。

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如图就是一个欧拉回路

欧拉回路判定

不过怎么样的图中才存在欧拉回路呢?

欧拉回路分有向图和无向图两种:

  1. 有向图: 图中所有点的入度等于出度
  2. 无向图: 图中所有点的度数都为偶数

这还是很好理解的,不过你可能要问,怎么知道一个混合图中有没有欧拉回路呢?

混合图的欧拉回路

过程:

  1. 先将无向边随意定向
  2. 判断每个点的入度和出度是不是同奇偶,不同则无解
  3. 用一个超级原点向出度小于入度的点连一条容量为 ({|入度-出度| over 2}) 的边
    用一个超级汇点向出度大于入度的点连一条容量为 ({|入度-出度| over 2}) 的边
  4. 将原图无向边的另一个方向边连到图中,容量为 1
  5. 跑最大流,判断与 S 相连的边是否满流,满流则有解

PS:其实也十分好理解,其实就是将原来无向边的方向进行调整,使得每个点的入度等于出度。每个点需要调整 ({|入度-出度| over 2}) 次,所以边的容量为 ({|入度-出度| over 2})
当我们流过一条边的时候,两条边容量各减一,就相当于把边调整的过程。

以上是关于欧拉回路混合图的欧拉回路的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

bzoj 2095: [Poi2010]Bridges(二分法+混合图的欧拉回路)

bzoj2095: [Poi2010]Bridges(二分+混合图求欧拉回路)

POJ1637:Sightseeing tour(混合图的欧拉回路)

POJ 1637 Sightseeing tour(混合图欧拉回路+最大流)

欧拉道路与欧拉回路

图的路径:欧拉路(欧拉回路)