[合集]国庆休闲补题

Posted 2021-01-10 caturra

Hrbust - 1846

题意:序列每个格子允许放O和X,求长度为n的序列中至少存放m个连续的O的方案数

容斥+dp

设(dp[i])为长度为(i)时的合法方案数

转移的个数来自于上一个状态的合法序列后面接上O和X,既(dp[i-1]*2)

也有可能来自于本来不合法的方案,转移后就合法了,那先固定一部分状态,因为转移后才合法,所以假定序列中[i-m+1,i]全部为O,那么前面就可以为所欲为,有(2^{i-m})个状态,但(2^{i-m})中会有合法方案的存在,因此需要减去已经合法的(dp[i-m])个方案,剩下的是不合法的方案后面接上([i-m+1,i])的全O的方案数.(然而这连样例都过不了)

YY了一下认为可能是非法方案转移途中还不到最后一位就合法了,而这已经囊括在(dp[i-1])的范畴中,所以后半部分方程歪掉了,那就在([i-m+1,i])置为O,而(i-m)处置为X,表示必须转移到最后一位才能形成合法的方案,那么转移用到的非法方案数为(2^{i-m-1}-dp[i-m-1])

两部分加起来就可以了

https://paste.ubuntu.com/p/mYQPpgTb9N/

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HDU - 4370

给定(n*n)矩阵(C_{i,j}),求构造一个(n*n)的01矩阵(X_{i,j})

(X_{i,j})满足约束第1行的和为1,第(n)列的和为1,其余的第(i)行的和等于第(i)列的和

使得(sum C_{i,j}*X_{i,j})最小

由于剧透,得知转化为图,节点1的出度为1,节点n的入度为1,其余(1<i<n)节点入度等于出度,(C_{i,j})为(i→j)的权值

入度与出度相等意味着非起始点/终点或是可能有环,需要分别讨论1和n是否各自形成环,或者只是1到n的简单路径,对比一下权值即可

https://paste.ubuntu.com/p/pY2gVmJxkf/

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FZU - 2234

题意:求双调最短路的最大价值

来回的过程可看作是两个人同时在起点走到终点,但物品只能取一次,但时间无法承受(O(n^4))

因为走的是最短路,对于某个人已经走了(k)的长度,可以得到(x_i+y_i=k+2)

因此设(dp[k][x_i][y_i])为走了k的长度时第一人在横坐标(x_i)而第二个人在横坐标(x_j)的最大价值

如果坐标相等则把两个物品的价值除二看作只拿一次

https://paste.ubuntu.com/p/nssf9KynCF/

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Codeforces - 337D

题意:给出一棵n个点的树和m个标记的点,求存在多少个点离最远的标记点不超过d

不错的树形DP(换根大法好)

令(f[i])为(i)与(i)子树下距离标记点最远的距离,若不存在则为(-infin)(保证后面加法的正确性)

令(g[i])为(i)与(i)子树以外的距离标记点最远的距离,若不存在则为(-infin)

那么答案就是(max(f[i],g[i])≤d)的(i)的个数

(f[i])很容易搞,只需(f[u]=max(f[u],f[v]+1))

(g[i])则需要考虑(i)的父亲以及(i)的兄弟,(g[u]=max(g[u],g[fa]+1,f[v]+2))

很显然每个(u)对兄弟(v)的枚举可以被菊花树卡飞

那么需要一个简单优化,记录对于每个节点(fa)记录(f[])最大的儿子节点(best[fa]=v)

那么对于枚举到本来就是一个父亲的(best)节点(u)时,对(g[u])则需要暴力枚举所有兄弟,而不是(best)的节点时,(g[u]=max(g[u],g[fa]+1,f[best[fa]]+2))

https://paste.ubuntu.com/p/9JcQYSjGHx/

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Codeforces - 675E

题意:(n)个车站,每个车站(i)可花费用1到达车站([i+1,a_i]),设(p[i][j])为(i)到(j)的最小费用,求(sum_{1≤i＜j≤n}p[i][j]),(n<10^6)

代价为定值下可贪心的dp

设(dp[i])为(sum_{i≤u<v≤n}p[u][v]),那么答案就是(sum_{i=1}^{n-1}dp[i])

考虑怎么转移,首先可以知道的是对于(i→[i+1,a_i])费用为1,(i→[a_{i+1},a_{i+2},...,a_{a_i}])费用为2,以此类推

但([a_{i+1},a_{a_i}])是非单调的,仍需要维护最大值让每次转移尽量远,令这个存在最大值的下标为(m)

那转移方程就是(dp[i]=dp[m]+[(n-i)-(a_i-m)])

YY一下正确性,每次转移都按照这样的贪心策略,对于每一个(i)而言肯定是一种最快到达(n)的方案之一?

其实这样看的话这题不算是DP,只是一种记忆化手段

https://paste.ubuntu.com/p/xwHRv4SqSn/

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Hrbust - 1256

题意:给出(n)个人,要求组建(k)支队去打铁,每支队的战力为(a[i]+a[j]+a[k]+b[i][j]+b[i][k]+b[j][k]),求最高总战力

范围(n<19)状压DP优化

首先(O(n^3*2^n))没戏,需要压常数,参考dalao的发言,由于状态总是3个出现,与其暴力三层枚举,不如用k-1次凑数来更新答案,这样复杂度是(O(能过))

https://paste.ubuntu.com/p/2wd72Ddg6B/

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Codeforces - 611D

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HDU - 6070

题意:求(frac{cnt[l,r]}{r-l+1})的最小值,(cnt[l,r])表示区间([l,r])的数值种类

分数规划问题考虑二分答案(mid),有(cnt[l,r]≤(r-l+1)*mid),次数需要维护种类数和长度的关系,不好check

把式子改为(cnt[l,r]+(l-1)*mid≤r*mid),每次check枚举右端点,左边用线段树更新答案,每次插入新的r更新只会影响cnt的值,只要记录各类型前一个值在哪即可,既维护一个动态的后缀

(感觉自己的counting能力太弱了)

https://paste.ubuntu.com/p/dtDGK6YPJT/

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Codeforces - 817D

题意:求(sum max(a[l,r]) - sum min(a[l,r]))

喜闻乐见单调栈

首先求最小的部分,

对于每个(i),它能扩展到的极左边界为(l[i]),使得(a[j]>a[i],j∈[l[i],i-1]),并对应求出极右边界(r[i]),使得(a[j]≥a[i],j∈[i,r[i]])

此时(i)对答案的贡献为((i-l[i]+1)*(r[i]-i+1)),注意包含(i)的区间个数应该是两边都有(i)的交集!

同理,维护最大的部分,对于每个(i),(a[j]<a[i],j∈[l[i],i-1]),并且(a[j]≤a[i],j∈[i,r[i]])

https://paste.ubuntu.com/p/kY2Ws2bfG6/

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Codeforces - 478D

题意:r个红方块和g个绿方块,要求第(i)行搭(i)个同色方块,求总共有多少种方案

垃圾题目,浪费时间

(dp[i][j]):第(i)层用了(j)个红方块的方案数,然后分别用红方块和绿方块转移即可,注意细节

尤其是sum的break判断不要放在while底部,因为这样h可能是刚好缺少的那一层

https://paste.ubuntu.com/p/jQJxsVmHcB/

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Codeforces - 366C

题意:给出(a[1...n],b[1...n]),求(frac{sum a[i]}{sum b[i]}=k)且(sum a[i])尽量大的集合方案,输出(sum a[i])

总费用为0的背包

由于是集合,每个元素最多只能拿一次,且要求价值和最大,符合01背包的背景

把式子展开为(sum a[i]-sum k*b[i]=0),可以看出体积为(a[i]-k*b[i]),价值为(a[i])

对着跑一遍01背包就ok,目标是(dp[n][0])

作死尝试unordered_map

https://paste.ubuntu.com/p/BkyMYqxzPJ/

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Codeforces - 466D

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HDU - 2833

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HDU - 5242

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Codeforces - 489F

题意:已知前m行01矩阵,求构造(n*n)的01矩阵使得每一行列只有2个1的方案数

(dp[i][j][k]):当前第(i)行的列和为0的总数是(j),列和为1的总数是(k)

由于要求每一行都要由2个1,就是说转移过程中新构造的一行必须填入2个1,这是突破口

(dp[i][j][k]=dp[i-1][j+2][k-2]* {j+2 choose 2} + dp[i-1][j+1][k]*(j+1)*(k)+dp[i-1][j][k+2]*{k+2choose 2})

目标是(dp[n][0][0])

但这样会T

一种解决方法是枚举(i)行和(j)个位置,可以计算得到(k=(n-i+1)*2-j*2)

https://paste.ubuntu.com/p/rjNc844Hcj/

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HDU - 2853

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HDU - 4360

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Ural - 2080

观赏题:CF669D/51nod-1021/HDU4101/

OJ挂了:CSU1809

回收站:HDU4472/CF550C/CF660C/CF353D/Hrbust1774/CF430D

建图相关:CF821D(把行列看作点)