poj 2186(强连通分量入门题)

Posted 2021-01-10 violet-acmer

传送门:Problem 2186

https://www.cnblogs.com/violet-acmer/p/9739990.html

 

题意：

　　每头牛都想成为牛群中的红人。

　　给定N头牛的牛群和M个有序对(A, B)，(A, B)表示牛A认为牛B是红人，该关系具有传递性，所以如果牛A认为牛B是红人，牛B认为牛C是红人，那么牛A也认为牛C是红人。

　　不过，给定的有序对中可能包含(A, B)和(B, C)，但不包含(A, C)。

　　求被其他所有牛认为是红人的牛的总数。

分析：

　　考虑以牛为顶点的有向图，对每个有序对(A, B)连一条从 A到B的有向边，那么，被其他所有牛认为是红人的牛对应的顶点，也就是从其他所有顶点都可达的顶点。

　　虽然这可以通过从每个顶点出发搜索求得，但总的复杂度却是O(NM)，是不可行的，必须要考虑更为高效的算法。

　　假设有两头牛A和B都被其他所有牛认为是红人，那么显然，A被B认为是红人，B也被A认为是红人，即存在一个包含A、B两个顶点的圈，或者说，A、B同属于一个强连通分量。反之，如果一头牛被其他所有牛认为是红人，那么其所属的强连通分量内的所有牛都被其他所有牛认为是红人。

　　由此，我们把图进行强连通分量分解后，至多有一个强连通分量满足题目的条件。

　　而按前面介绍的算法进行强连通分量分解时，我们还能够得到各个强连通分量拓扑排序后的顺序，[1]唯一可能成为解的只有拓扑序最后的强连通分量。

　　所以在最后，我们只要检查这个强连通分量是否从所有顶点可达就好了。

　　该算法的复杂度为O(N+M)，足以在时限内解决原题。

以上分析来自挑战程序设计竞赛。

　　对[1]的理解：

　　满足条件的强连通分量的特点是：

　　　　(1)出度为0

　　　　(2)其余的节点都会间接或直接的指向此强连通分量的任一节点

　　再结合向量vs 的作用，在Dfs( )中，vs中存储的第一个节点肯定是满足条件的强连通分量中的某一节点，在vs中，越靠前的节点的拓扑序越大。

AC代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<vector>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<cstring>
 5 using namespace std;
 6 const int maxV=1e4+10;
 7 const int maxE=5e4+10;
 8 
 9 int N,M;
10 bool vis[maxV];
11 vector<int >vs;
12 vector<int >edge[maxE],redge[maxE];
13 
14 void addEdge(int u,int v)
15 {
16     edge[u].push_back(v);
17     redge[v].push_back(u);
18 }
19 void Dfs(int u)
20 {
21     vis[u]=true;
22     for(int i=0;i < edge[u].size();++i)
23     {
24         int to=edge[u][i];
25         if(!vis[to])
26             Dfs(to);
27     }
28     vs.push_back(u);
29 }
30 void rDfs(int u)
31 {
32     vis[u]=true;
33     for(int i=0;i < redge[u].size();++i)
34     {
35         int to=redge[u][i];
36         if(!vis[to])
37             rDfs(to);
38     }
39 }
40 void Scc()
41 {
42     memset(vis,false,sizeof vis);
43     vs.clear();
44     for(int i=1;i <= N;++i)
45         if(!vis[i])
46             Dfs(i);
47 
48     memset(vis,false,sizeof vis);
49     sameId=0;
50     for(int i=vs.size()-1;i >= 0;--i)
51     {
52         int v=vs[i];
53         if(!vis[v])
54         {
55             sameId++;
56             rDfs(v);
57         }
58     }
59 }
60 int Solve()
61 {
62     Scc();
63     int res=0;
64     int u;
65     for(int i=1;i <= N;++i)
66         if(scc[i] == sameId)
67         {
68             res++;//拓扑序最后的强连通分量的个数
69             u=i;//u == 拓扑排序最后的点
70         }
71     memset(vis,false,sizeof vis);
72     rDfs(u);
73     for(int i=1;i <= N;++i)
74         if(!vis[i])//判断是否全部可达
75             res=0;
76     return res;
77 }
78 int main()
79 {
80     scanf("%d%d",&N,&M);
81     for(int i=1;i <= M;++i)
82     {
83         int u,v;
84         scanf("%d%d",&u,&v);
85         addEdge(u,v);
86     }
87     printf("%d
",Solve());
88     return 0;
89 }

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