数论-基本概念篇

Posted 2021-01-10 ac-ac

一：整除与约数

　　整除：若整数a除以非零整数b，商为整数，且余数为0，我们就说a能被b整除（或者说b整除a），记作b|a。

　　约数：如果d|a且d>=0，则称d是a的约数。

二：素数与合数

　　素数：如果一个整数a>1且只能被平凡数1和它自身所整除，则称这个数是素数（质数）。

　　合数：如果一个整数a>1且不是素数，则称这个数是合数。

　　注意：1既不是合数也不是质数，2是最小的素数。（有些OJ的题目中会把1当作质数，有些会把2当作合数）。

三：除法定理、余数与模运算

　　除法定理：对于任何整数a和任何整数n，存在唯一整数q和r，满足0<<r<n且a = q*n+r；称q=⌊a/n⌋为除法的商，值r = a mod n为除法的余数。n|a当且仅当a mod n = 0.

　　模运算：对任意整数a和任意整数n，a mod n的值就是a/n的余数。a mod n = a - n*⌊a/n⌋，可知0<=a mod n < n。

　　若a mod n = b mod n，则记 a ≡ b（modn)，称模n时a等价于b。即a与b除以同一个数时有相同的余数。等价地，a≡b（modn）当且仅当n时b-a的一个因子。

四：公约数与最大公约数

　　公约数：如果d是a的约数并且d也是b的约数，则称d是a与b的公约数。

　　公约数的一条重要性质是：d|a 且 d|b 蕴涵着d|(a+b) 且 d|(a-b)，更一般地，对于任意整数x和y，有d|a 且 d|b 蕴涵着 d|(ax+by)

　　最大公约数：两个不同时为0的整数a与b的公约数中最大的数成为最大公约数，记作gcd(a,b)。定义gcd(0，0）= 0。　　

　　GCD函数的基本性质：gcd(a,b)=gcd(b,a)、gcd(a,b)=gcd(|a|,|b|)、gcd(a,ka)=|a|，k属于整数。

　　　　　　　　　　　　gcd(a,b)=gcd(-a,b)、gcd(a,0)=|a|

　　定理：如果任意整数a和b都不为0，则gcd(a,b)是a与b的线性组合集{ax+by：x，y∈Z}中的最小元素。

　　

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证明：设s是a与b的线性组合集合中的最小正元素，并且对某个x，y∈Z，有s=ax+by。设q=⌊a/s⌋，则a mod s = a-q*s = a-q(ax+by) = a(1-qx)+b(-qy)。因此amods也是a与b的一个线性组合。s是这个线性组合中的的最小正数，由于0<=amods<s，故有a mod s = 0。因此s|a，类似地,可得到s|b.因此s是a与b的公约数，所以gcd(a,b)>=s。因为gcd(a,b）能同时被a和b整除，并且s是a与b的一个线性组合，所以gcd(a,b)|s。但由于gcd(a,b)|s和s>0，因此gcd(a,b)<=s。将上面已证明的gcd(a,b)>=s与gcd(a,b)<=s结合起来，得到gcd(a,b)=s。因此证明了s是a与b的最大公约数。

推论：对任意整数a与b，如果d|a并且d|b，则d|gcd(a,b)。

　　　对所有整数a和b以及任意非负整数n，有gcd(an,bn)=ngcd(a,b)。

　　　对于任意整数n,a,b，如果n|ab且gcd(a,n)=1,则n|b。

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五：互质数

　　如果两个整数a与b只有公约数1，即gcd(a,b)=1，则a与b称为互质数。

　　定理：对于任意整数a，b和p，如果gcd(a,p)=1且gcd(b,p)=1,则gcd(ab,p)=1。