最短路径问题-Dijkstra算法

Posted 2021-01-10 wcc-bugmaker

前言：

最短路径算法用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，是寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。

文章为了通俗易懂，避免使用一些复杂词汇，可能会丧失部分表述准确度，但是这样对我这样菜的新手更佳友好，文章介绍最为经典的Dijkstra算法。为了更好的描述算法增加可读性，将使用C++作为算法描述，而且不会考虑算法优化问题。

// 这一段是废话

迪杰斯特拉（Dijkstra）算法是典型的用来解决最短路径的算法，也是很多教程中的范例，由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959年提出，用来求得从起始点到其他所有点最短路径。该算法采用了贪心的思想，每次都查找与该点距离最近的点，也因为这样，它不能用来解决存在负权边的图。解决的问题大多是这样的：有一个有向图G，边e的长度为l，找出第0点到第N点的最短路径。

 

问题描述：

 

如图片为有向图，0点为出发点。

输入正整数N（0<N<=4）作为终点，请求出从0点到N点的最短路径长度。

 

分析：

我们读入数据就涉及“图”在计算机中的存储方式，这里给出两个最常用方案：

1.邻接矩阵

2.邻接表

为了简化这篇文章，只介绍方便的邻接矩阵存储方式。

邻接矩阵：

邻接矩阵其实是一个二维数组。数组的每一个元素保存图中相邻两点之间的长度，数组两个下标分别表示对应两点的标号。

就比如题目中给出的图片，邻接矩阵是这样的:

int matrix[5][5] =

{

       { INF, 99, 50, INF, INF },

       { INF, INF, 50, 50, 50 },

       { INF, INF, INF, 99, INF },

       { INF, INF, INF, INF, 75 },

       { INF, INF, INF, INF, INF }

};

 

图中共有5个点，所以数组大小为5x5。

比如0点到1点的距离为99，在邻接矩阵matrix中，表现为matrix[0][1] == 99；但是因为图为有向图，1点不能到0点，matrix[0][1] == INF。

INF表示两点之间距离无限远。而且因为一个点到一个点本身没有任何意义，所以一个点到自己的距离也设置为INF。

邻接矩阵基本上可以应付大部分的情况，但是你会发现，邻接矩阵在内存空间方面占用较多，文章给出的例子只有5个定点，需要5x5的int数组，如果点特别多，而且为有向图可以考虑使用邻接表的方式存储。

 

下面介绍Dijkstra算法的大致步骤:

 

我们首先创建两个数组，起名为visited 和distance。visited记录节点是否被访问过，distance保存起点到该点的最短路径。

(1)   初始化。除了起点，其他点都没有被访问过，把每个点到起点从矩阵读取的路径存到distance数组。

(2)   遍历所有没有访问过的点，找到当前distance中保存最近的路径的点k，标记该点为已访问。

(3)   遍历所有没有访问过的点，检查是起点到每个点近还是k点到每个点近，如果是后者，更新当前点distance，保存k距起点的距离加上k到每个点的距离。

(4)   重复2，3步骤，直到所有点访问完成。

#include <cstdio>

const int INF = 0x3f3f3f;

static int matrix[5][5] =
{
	{ INF, 99, 50, INF, INF },
	{ INF, INF, 50, 50, 50 },
	{ INF, INF, INF, 99, INF },
	{ INF, INF, INF, INF, 75 },
	{ INF, INF, INF, INF, INF } 
};

/// dest 是目的地点
///	
int Dijkstra(const int dest) {
	// 顶点的数量
	const int vertex_num = 5;

	// vis数组是访问标记数组，记录已经访问的顶点
	// dis数组保存起点到当前点的最短路径
	// 都加1是为了访问安全，防止编译器和运行时抽风
	bool vis[vertex_num + 1] = { 0 };
	int  dis[vertex_num + 1] = { 0 };

	// 初始化0点到各点的距离
	for (int i = 1; i < vertex_num; ++i)
		dis[i] = matrix[0][i];

	// 标记0点，表示已经访问过
	vis[0] = true;

	for (int i = 1; i < vertex_num; ++i) {
		// 查找最近的点
		int min = INF, k = 0;
		for (int j = 0; j < vertex_num; ++j) {
			if (! vis[j] && dis[j] < min) {
				min = dis[j];
				k = j;
			}
		}
		// 标记查找到的最近点
		vis[k] = true;

		// 判断是直接点0到点j短，还是经过点k到点j更短
		for (int j = 1; j < vertex_num; ++j) {
			if (! vis[j] && min + matrix[k][j] < dis[j]) {
				dis[j] = min + matrix[k][j];
			}
		}
	}

	return dis[dest];
}

int main() {
	int n;
	while (~scanf("%d", &n)) {
		printf("%d
", Dijkstra(n));
	}
	return 0;
}