浅谈二分

Posted 2021-01-10 akmer

太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，阴阳交媾万物生。

若要你在全校同学当中猜我心里想的那个人，允许你问若干个问题，使问问题次数尽量少，你肯定会问我那个人是男生还是女生。因为这样，可以筛掉一半的人。并且在数学期望上来说，你肯定会尽量问一些能筛掉一半的问题，将问题的答案集合一分为二。假设你直接问是不是***，我说不是的话，你这个问题就问得十分无力了，因为它只帮你排除了一个人。所以，每次问可以筛掉一半备选集合的问题，显然是一种很聪明的做法。

世间万物始于混沌，根据太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，我们可以很快将万事万物分为八类，并且都相对均衡，这种古老的大智慧，在很久很久以前就被古人所运用了。

在(OI)界，这就叫二分。一分为二，天地初开。

对于一个包含了最终解的集合，若我们能通过一次判断将其一分为二，将最终解的范围缩小一半，那么这就是二分。就比如，假如整数范围([l,r])是解集范围，并且这个解具有单调性（不存在(i)是解但是(j)不是解且(j>i)），那么只要(mid=(l+r)/2)是解，([mid+1,r])就都是解集，我们再去([l,mid-1])里找更加小的解。因为满足单调性，二分多用于解决“最大值最小”或者“最小值最大”的问题。我要求某个问题的答案最大值最小的那一个，说明只要大于等于这个答案的都是问题的解，不过不是最小的。最小值最大同理。

至于二分的写法，网上千千万，我个人偏爱一下这一种：

int l=mn,r=mx,ans;
while(l<=r) {
    int mid=(l+r)>>1;
    if(check(mid))ans=mid,l=mid+1;
    else r=mid-1;
}//最小值最大

int l=mn,r=mx,ans;
while(l<=r) {
    int mid=(l+r)>>1;
    if(check(mid))ans=mid,r=mid-1;
    else l=mid+1;
}//最大值最小

因为(mid)已经被检查过并且用于更新(ans)了，所以剩下俩区间就是([l,mid-1])和([mid+1,r])了，选择哪个继续去更新答案根据实际情况定就行。

然后实数二分的话只要设置一个(eps)判一判就行了：

double l=mn,r=mx,ans;
while(l+eps<=r) {
    double mid=(l+r)/2;
    if(check(mid))ans=mid,r=mid-eps;
    else l=mid+eps;
}

以上就是二分的板子了。至于怎么去二分和怎么去(check)，那就得根据实际题目实际设定了。