Arif in Dhaka (First Love Part 2) UVA - 10294（Polya定理）

Posted 2021-01-10 wtsruvf

这题和POJ-1286一样

题意：

　　给出t种颜色的n颗珠子 （每种颜色的珠子个数无限制，但总数必须是n）， 求能制作出项链和手镯的个数

　　注意手镯可以翻转和旋转  而 项练只能旋转

解析：

　　注意Polya定理：

　　等价类的个数等于所有的置换f的k^m(f)的平均数

　　先考虑旋转，一共有n种情况，旋转1颗珠子构成循环，2颗，3颗·····n颗，那么对于旋转i颗珠子有gcd（i，n）个循环，那么根据Polya定理  置换的不动点的个数为

a = sum(t^{gcd(i, n)});

　　为什么又gcd(i, n)个循环。。。想一下  i，2i，3i···这些点的颜色相同 我们把颜色相同的归为一类 称为一个循环，那么如果i是n的因子，在这n颗珠子里就有i种颜色

即为1 到 i 这i种  所以又i个循环 如果i不是n的因子 那么我们要找到一个最大的 即为gcd(i, n)

　　在考虑翻转，翻转的话只能是对称轴两边的点构成循环 或者在对称轴上的点自己构成循环，而对称轴可以在点上  也可以不在点上  这两种情况看 五边形 和 六边形就好了，画一下 就能看出来，

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <sstream>
#include <cstring>
#include <map>
#include <cctype>
#include <set>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <bitset>
#define rap(i, a, n) for(int i=a; i<=n; i++)
#define rep(i, a, n) for(int i=a; i<n; i++)
#define lap(i, a, n) for(int i=n; i>=a; i--)
#define lep(i, a, n) for(int i=n; i>a; i--)
#define rd(a) scanf("%d", &a)
#define rlld(a) scanf("%lld", &a)
#define rc(a) scanf("%c", &a)
#define rs(a) scanf("%s", a)
#define pd(a) printf("%d
", a);
#define plld(a) printf("%lld
", a);
#define pc(a) printf("%c
", a);
#define ps(a) printf("%s
", a);
#define MOD 2018
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define Pair pair<int, int>
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define _  ios_base::sync_with_stdio(0),cin.tie(0)
//freopen("1.txt", "r", stdin);
using namespace std;
const int maxn = 10010, INF = 0x7fffffff, LL_INF = 0x7fffffffffffffff;

LL qp(LL a, LL b)
{
    LL res = 1;
    while(b)
    {
        if(b & 1) res = res * a;
        a = a * a;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    int n, t;
    while(cin >> n >> t)
    {
        LL a = 0, b = 0;
        for(int i = 0; i <= n-1; i++)
        {
            a += qp(t, __gcd(i, n));
        }
        if(n & 1) b = n * qp(t, (n + 1) / 2);
        else b = n / 2 * (qp(t, n / 2 + 1) + qp(t, n / 2));
        cout << a / n << " " << (a + b) / 2 / n << endl;

    }


    return 0;
}