关于二叉树形态种类数的证明

Posted 2021-01-09 colythme

· 定理

　　n个节点二叉树形态种类数为Cat (n)。

· 证明

　　很难通过简单递推得到答案，因为会产生重复的情况。

　　一般我们使用二叉树都是通过递归，故考虑从递归处得到启发。

　　对于任意n个节点的二叉树，它的左右子节点个数是可以被枚举的 —— 1 + (n - 1) / 2 + (n - 2)...

　　所以可以通过递归实现，故ƒ_n = ƒ₁ * ƒ_{n - 1} + ƒ₂ * ƒ_{n - 2} + ...

　　满足卡特兰数条件，故定理成立。