朴素贝叶斯算法（Naive Bayes）

Posted 2021-01-09 huangyc

1. 前言

说到朴素贝叶斯算法，首先牵扯到的一个概念是判别式和生成式。

• 判别式：就是直接学习出特征输出(Y)和特征(X)之间的关系，如决策函数(Y=f(X)),或者从概率论的角度，求出条件分布(P(Y|X))。代表算法有决策树、KNN、逻辑回归、支持向量机、随机条件场CRF等
• 生成式：就是直接找出特征输出Y和特征X的联合分布(P(X,Y))，然后用(P(Y|X)=frac{P(X,Y)}{P(X)})得出。代表算法有朴素贝叶斯、隐式马尔可夫链等。

2. 朴素贝叶斯原理

朴素贝叶斯算法基于贝叶斯定理和特征条件独立假设。

• 贝叶斯原理
• 特征条件独立：特征条件独立假设(X)的(n)个特征在类确定的条件下都是条件独立的。大大简化了计算过程，但是因为这个假设太过严格，所以会相应牺牲一定的准确率。这也是为什么称呼为朴素的原因。

3. 朴素贝叶斯算法

输入：训练集为(m)个样本(n)个维度(T={(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_m,y_m)}),共有K个特征输出类别，分别为(yin{{c_1,c_2,...,c_K}}).

输出:为实例(x_{(test)})的分类。

算法流程如下：

1. 首先计算计算(Y)的(K)个先验概率
   [ P(Y=c_k) ]
2. 然后计算条件概率分布：
   [ P(X=x|Y=c_k)=P(X^{(1)}=x^{(1)},...,X^{(n)}=x^{(n)}|Y=c_k) ]
   由于上式的参数是指数级别，无法计算。所以根据特征条件独立假设，可以化简为下式。
   [ P(X=x|Y=c_k)=prod_{j=1}^nP(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k) ]
3. 根据贝叶斯原理，计算后验概率：
   [ P(Y=c_k|X=x)=frac{P(X=x|Y=c_k)P(Y=c_k)}{sum_kP(X=x|Y=c_k)P(Y=c_k)} ]
   带入(P(X=x|Y=c_k)=prod_{j=1}^nP(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k))
   得到
   [ P(Y=c_k|X=x)=frac{prod_{j=1}^nP(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)P(Y=c_k)}{sum_kprod_{j=1}^nP(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)P(Y=c_k)} ]
   由于分母相同，上式再变为如下：
   [ P(Y=c_k|X=x)=prod_{j=1}^nP(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)P(Y=c_k) ]
4. 计算(X_{(test)})的类别
   [ y_{(test)}=arg max_{c_k}prod_{j=1}^nP(X^{(j)}=x_{(test)}^{(j)}|Y=c_k)P(Y=c_k) ]

从上面的计算可以看出，没有复杂的求导和矩阵运算，因此效率很高。

4. 朴素贝叶斯算法小结

朴素贝叶斯算法的主要原理基本已经做了总结，这里对朴素贝叶斯的优缺点做一个总结。

4.1 朴素贝叶斯的主要优点有：

1. 朴素贝叶斯模型发源于古典数学理论，有稳定的分类效率。
2. 对小规模的数据表现很好，能个处理多分类任务，适合增量式训练，尤其是数据量超出内存时，我们可以一批批的去增量训练。
3. 对缺失数据不太敏感，算法也比较简单，常用于文本分类。

4.2 朴素贝叶斯的主要缺点有：　　　

1. 朴素贝叶斯模型的特征条件独立假设在实际应用中往往是不成立的。
2. 如果样本数据分布不能很好的代表样本空间分布，那先验概率容易测不准。
3. 对输入数据的表达形式很敏感。