POJ1845 Sumdiv

Posted 2021-01-09 akmer

我对分治的理解：https://www.cnblogs.com/AKMer/p/9728574.html

题目传送门：http://poj.org/problem?id=1845

题目求(a^b)的所有约数之和。

如果一个数(a=p_1^{l_1}p_2^{l_2}p_3^{l_3}....p_k^{l_k})，那么(p_1^{g_1}p_2^{g_2}....p_k^{g_k},forall g_iin[0,l_i])是(a)的约数。(a)的约数个数就有(prodlimits_{i=1}^n(l_i+1))个(每个质因子都有([0,l_i])那么多幂可以选择)。而他们的和就是((1+p_1^1+p_1^2+...p_1^{l_1})(1+p_2^1+p_2^2+...+p_2^{l_2})...(1+p_k^1+p_k^2+...+p_k^{l_k}))

在([0,5e7])范围内，一个数最多有(8)个不同的质因数，所以我们只需要掌握快速求一形如(a^0+a^1+a^2+...+a^p)的式子的值就可以了。

如果你会等比数列求和公式和求乘法逆元，那么请出门左拐，因为我接下来要讲的是分治做法。

我们令(mid=p>>1).

如果(p)是奇数，那么这个式子一共有偶数个加数。我们在后半部分提出一个(a^{mid})，式子就可以变成((a^{mid}+1)(a^0+a^1+a^2+...+a^{mid-1}))，对于((a^{mid}+1))我们可以利用快速幂求出，而((a^0+a^1+a^2+...+a^{mid-1}))我们可以递归处理。

如果(p)是偶数，同理，原式等于(a^{mid}+(1+a^{mid+1})(a^0+a^1+a^2+...+a^{mid-1}))

若(p)等于零，那么直接(return) (1)就可以了。

时间复杂度：(O(log^2n))

空间复杂度：(O(1))

代码如下：

#include <cstdio>
using namespace std;

const int pps=9901;

int a,b,ans=1;

int read() {
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;
    for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())x=x*10+ch-'0';
    return x*f;
}

int quick(int a,int b) {
    int sum=1;a%=pps;
    while(b) {
        if(b&1)sum=sum*a%pps;
        a=a*a%pps;b>>=1;
    }
    return sum;
}

int query(int p,int power) {
    if(power==0)return 1;
    if(power&1)return (1+quick(p,(power>>1)+1))*query(p,power>>1)%pps;
    else return (quick(p,power>>1)+(quick(p,(power>>1)+1)+1)*query(p,(power>>1)-1)%pps)%pps;
}

int main() {
    a=read(),b=read();
    if(!a) {puts("0");return 0;}
    for(int i=2;i<=a;i++)
        if(a%i==0) {
            int tmp=0;
            while(a%i==0)
                a/=i,tmp++;
            tmp*=b;
            ans=ans*query(i,tmp)%pps;
        }
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}