luogu1941 飞扬的小鸟

Posted 2021-01-09 headboy2002

题目大意

　　游戏界面是一个长为n ，高为 m 的二维平面，其中有k 个管道（忽略管道的宽度）。小鸟始终在游戏界面内移动。小鸟从游戏界面最左边任意整数高度位置出发，到达游戏界面最右边时，游戏完成。小鸟每个单位时间沿横坐标方向右移的距离为1 ，竖直移动的距离由玩家控制。如果点击屏幕，小鸟就会上升一定高度X ，每个单位时间可以点击多次，效果叠加；如果不点击屏幕，小鸟就会下降一定高度Y 。小鸟位于横坐标方向不同位置时，上升的高度X 和下降的高度Y 可能互不相同。小鸟高度等于0 或者小鸟碰到管道时，游戏失败。小鸟高度为 m 时，无法再上升。现在，请你判断是否可以完成游戏。如果可以 ，输出最少点击屏幕数；否则，输出小鸟最多可以通过多少个管道缝隙。

题解

　　本题最简单的动规便是定义$f(i,j)$为第$i$个时间，高度为$j$时最少的上升步数，转移为UpdMin$f(i+1,j-Y_i),f(i,j)+1$，UpdMin$f(i+1,j+kX_i),f(i,j)+k$。然而这样时间复杂度为$O(nm^2)$，不能AC。我们想想怎么消掉那个$k$呢？我们可以这样想：对于每一个$j$，在当前时刻$t$时，我们先点屏幕一次，小鸟移到下一个时间$t‘$，随后你就可以随便点屏幕让鸟在时刻$t‘$中不断地上升，来更新其它高度的动规值了。这可以看作在$t‘$时，把高度作为背包容量，物品体积为$X_t$，价值为$1$，动规值为$f(t‘,j)$的、每种物品至少选一个的完全背包了。

　　注意：

1. 先由X更新，再由Y更新，因为由X更新时，必须要满足连续地点屏幕的条件，而如果Y在前，可能会导致先不点屏幕让小鸟下降，然后再点屏幕让小鸟在$t‘$时上升，不合题意。
2. 我们只要在刷表时只由合法状态往后更新即可，以后的j如果在管道内，我们也不用管。一方面节省代码量，另一方面完全背包更新时也会需要飞到管道里中的答案。
3. 对于点屏幕卡在屏幕上端的情况，由越界的情况往下刷即可。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define UpdateMin(x, y) x = min(x, y)
const int MAX_LEN = 10010, MAX_H = 1010 * 2, MAX_COL = MAX_LEN, INF = 0x3f3f3f3f;
int TotLen, TotH, TotCol;
int RiseLen[MAX_LEN], DecLen[MAX_LEN];
int High[MAX_LEN], Low[MAX_LEN];
bool ReachT;
int Ans;

void DP()
{
    static int F[2][MAX_COL];
    memset(F[0], 0, sizeof(F[0]));
    int passCnt = 0;
    for (int i = 0; i < TotLen; i++)
    {                
        bool noAns = true;
        int top = min(TotH, High[i] - 1), top2 = min(TotH, High[i + 1] - 1);
        for (int h = Low[i] + 1; h <= min(TotH, High[i] - 1); h++)
        {
            if (F[i & 1][h] < INF)
            {
                noAns = false;
                break;
            }
        }
        if (noAns)
        {
            Ans = passCnt;
            return;
        }
        if (High[i] < INF)
            passCnt++;
        memset(F[i + 1 & 1], INF, sizeof(F[i + 1 & 1]));
        for (int h = Low[i] + 1; h <= top; h++)
            UpdateMin(F[i + 1 & 1][h + RiseLen[i]], F[i & 1][h] + 1);
        for (int h = 1; h <= top2; h++)
            UpdateMin(F[i + 1 & 1][h + RiseLen[i]], F[i + 1 & 1][h] + 1);
        for (int h = max(Low[i] + 1, DecLen[i] + 1); h <= top; h++)
            UpdateMin(F[i + 1 & 1][h - DecLen[i]], F[i & 1][h]);
        if (High[i + 1] == INF)
            for (int dh = 1; dh <= RiseLen[i]; dh++)
                UpdateMin(F[i + 1 & 1][TotH], F[i + 1 & 1][TotH + dh]);
    }
    Ans = INF;
    for (int h = 1; h <= TotH; h++)
        UpdateMin(Ans, F[TotLen & 1][h]);
    if (Ans == INF)
        Ans = passCnt;
    else
        ReachT = true;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &TotLen, &TotH, &TotCol);
    for (int i = 0; i < TotLen; i++)
        scanf("%d%d", RiseLen + i, DecLen + i);
    memset(High, INF, sizeof(High));
    for (int i = 0; i < TotCol; i++)
    {
        int p, low, high;
        scanf("%d%d%d", &p, &low, &high);
        High[p] = high;
        Low[p] = low;
    }
    DP();
    printf("%d
%d
", ReachT, Ans);
    return 0;
}