PAT乙级(Basic Level)练习题-NowCoder数列总结

Posted 2021-01-09 cafe3165

题目描述

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NowCoder最近在研究一个数列：

• F(0) = 7
• F(1) = 11
• F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n≥2)
  他称之为NowCoder数列。请你帮忙确认一下数列中第n个数是否是3的倍数。

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输入描述：

输入包含多组数据。
每组数据包含一个整数n，(0≤n≤1000000)。

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输出描述

对应每一组输入有一行输出。
如果F(n)是3的倍数，则输出“Yes”；否则输出“No”。
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输入例子：

0
1
2
3
4
5

输出例子：

No
No
Yes
No
No
No
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题目分析

这是一个特殊初始条件的Fibonacci sequence.

1.初始条件n的值比较小，可以直接枚举每个F(n)的值，然后输入n查询：

#include <iostream>  
#include <cstdio>  
using namespace std;  
int main (){  
    int n;  
    int *a=new int[N];
    a[0]=7;
    a[1]=11;
    for(int i=2;i<N;i++)
        a[i]=a[i-2]%3+a[i-1]%3;
    while(~scanf("%d", &n)){
        cout<<a[n]<<endl;
        if(a[n]%3==0)
            cout<<"Yes"<<endl;
        else
            cout<<"No"<<endl;   
    }
    return 0;  
}  

2.可以寻找到规律：（牛客网友“我要过pat”提供）

这个真牛批，想不到还有这种规律。那Fibonacci数列是否有相似的规律呢？

#include <iostream>  
using namespace std;

int main (){  
    int n;  
    while(cin>>n){
    if((n-2)%4==0)
        cout<<"Yes"<<endl;
    else 
        cout<<"No"<<endl;
    }
    return 0;  
}  

3.用矩阵快速幂来求解，这题n的范围比较小(0≤n≤1000000)所以用第1种方法可以不超时求解，但是，倘若n很大，达到(1<=n<=1000,000,000,000,000,000)这个范围，那么显而易见，必定超时。而且根本开不到那么大的数组。学校的算法课，有另外一题类似的，可以思考一下：

借此思路，用矩阵快速幂计算，稍微修改下就可以了。

 #include <iostream>  
#include <cstdio>  
#include <cstring>  
#define N 3
#define maxn 2   
  
  
using namespace std;  
  
struct Matrix{  
    long long a[maxn][maxn];  
    void init(){    //初始化为单位矩阵   
        memset(a, 0, sizeof(a));  
        for(int i=0;i<maxn;++i){  
            a[i][i] = 1;  
        }  
    }  
};  
  
//矩阵乘法   
Matrix mul(Matrix a, Matrix b){  
    Matrix ans;  
    for(int i=0;i<maxn;++i){  
        for(int j=0;j<maxn;++j){  
            ans.a[i][j] = 0;  
            for(int k=0;k<maxn;++k){  
                ans.a[i][j] += a.a[i][k] * b.a[k][j];  
                ans.a[i][j] %= N;   
            }  
        }  
    }   
    return ans;  
}  
  
//矩阵快速幂   
Matrix qpow(Matrix a, long long n){  
    Matrix ans;  
    ans.init();  
    while(n){  
        if(n&1)   
            ans = mul(ans, a);  
        a = mul(a, a);  
        n /= 2;  
    }   
    return ans;  
}  
  


int main (){  
    long long n;  
  
    while(~scanf("%lld", &n)){
    Matrix a;  
    a.a[0][0] = 1;  
    a.a[0][1] = 1;  
    a.a[1][0] = 1;  
    a.a[1][1] = 0;  
    long long s0=7,s1=11;   
    if (n>1)  
        {  
        Matrix ans= qpow(a, n-1);  
        long long res=ans.a[0][0]*s1+ans.a[0][1]*s0;  
//        printf("%lld",res); 
        if(res%3==0)
            cout<<"Yes"<<endl;
        else
            cout<<"No"<<endl;   
        }             
    else  
        cout<<"No"<<endl;   
        
        
    }
    return 0;  
}  

测评网站真的恶心，有时候循环输入用"cin>>"就可以，有时候又超时。。。得改"成~scanf("%lld", &n)"。另外一开始没想到对中间结果对3取模，导致数值过大溢出。用到unsigned long long 都不够。。。

PS：检测一个数被3整除的算法

1.检测一个数能否被3整除----位运算

如果所有的偶数位出现1的次数为 even_count, 奇数位出现1的次数为 odd_count，两者只差如果是3的倍数，那么这个数就是3倍数。

2.不用除法和求模运算，判断一个数能否被3整除

现在给出一个数a，假设它能被3整除，结果是b，即a=3*b，那么从二进制乘法运算判断出，b的最低位与a的最低位一定是相同的，从而得到了b的最低位，将这个位左移1位变成次低位，那么a的次低位以上的比特减去这个位后在次低位上的结果一定是b的次低位。以此类推可以求出b的各个比特，如果最后能完成对b的各位的计算，那么a能够被3整除，否则不能被3整除。

那么算法原理是什么呢？