[Data Structure & Algrithom] 无向图的最小生成树

Posted 2021-01-09 break-dawnn

最小生成树（Minimum Spanning Tree） - 连接所有顶点的边的权值之和最小的树

Prim算法

• 基本思路 - 设 图的顶点集合为V；其最小生成树的顶点集合为U
  1. 将某个顶点放入U
  2. 在一个顶点属于U，另一个顶点属于V-U的所有的边中，找到权值最小的边
  3. 将找到的边的不属于U的顶点，放入U中，重复2，直至U中包含了所有顶点
• 具体实现
  • 引入辅助数组edge[]，长度等于顶点数
    • 结点结构 - 数据域vertex（与该顶点相连的另一顶点）|权值cost（这条边的权值）
    • 对于在U中的结点 i - edge[i].cost = 0
    • 对于在V-U中的结点 j -edge[j]代表与结点j相连的权值最小的边
  • 时间复杂度 O(n²) （与边的数量无关）
• 适用于边稠密的图

Kruskal算法

• 基本思路
  1. 在图中选择权值最小的边
  2. 如果这条边不会形成环路，则选择这条边；否则，查找下一权值的边
• 时间复杂度（与顶点数量无关）
  • O(n²) - 已经按照边的权值排序
  • O(elog₂e) - 未按照边的权值排序
• 适用于边系数的图