2023年数学建模美赛A题（A drought stricken plant communities）分析与编程

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了2023年数学建模美赛A题（A drought stricken plant communities）分析与编程相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

2023年数学建模美赛A题（A drought stricken plant communities）分析与编程
2023年数学建模美赛D题（Prioritizing the UN Sustainability Goals）分析与编程

特别提示：
1 本文介绍2023年美赛题目，进行深入分析；
2 本文首先对 A题进行深入分析，其它题目分析详见专题讨论；
3 本文及专题分析将在 2月17日每3小时更新一次，完全免费，请先收藏。

文章目录


2023年数学建模美赛A题（A drought stricken plant communities）分析与编程


1. A题：A drought stricken plant communities（遭受旱灾的植物群落）

1.1 背景

不同的植物群落对压力的反应不同。例如，草原对干旱非常敏感。干旱发生的频率和严重程度不同。但大量的观察表明，不同物种的数量对植物群落如何在连续多代干旱周期中的适应能力起到了重要作用。在一些仅有单一物种的植物群落中，后代不像有 4种或更多物种的群落中的个体植物那样容易适应干旱条件。这些观察引出了许多问题：例如，对于一个植物群落，要从这种局部生物多样性中受益，最少需要多少种物种？随着物种数量的增加，这种现象如何发展？这对植物群落的长期生存性意味着什么？


1.2 要求

考虑到植物群落中干旱适应性与物种数量的关系，您的任务是探索和更好地理解这一现象。具体地，您应该：

  • 开发一个数学模型，预测植物群落随着不同的不规则天气周期的变化。在降水充足的时期应包括降雨的时间。该模型应考虑干旱周期中不同物种之间的相互作用。

  • 探讨你能从你的模型中得出什么结论，关于植物群体与更大环境的长期相互作用。考虑以下问题：

    • 要使植物群落受益，需要的不同植物物种数量是多少，随着物种数量的增加会发生什么？
    • 社区中的物种类型如何影响你的结果？
    • 未来天气周期中干旱发生的频率和变化范围的影响是什么？如果干旱较少，物种数量对总人口的影响是否相同？
    • 污染和栖息地减少等其他因素如何影响你的结论？
    • 您的模型表明应该采取什么措施以确保植物群落的长期生存力，对更大环境的影响是什么？

2. 2023年美赛 A题分析

  1. 这是一道微分方程建模题目，建立模型是关键，模型求解并不难，基于模型的分析和讨论可以发挥想象力。
  2. 需要先找到相关研究论文，根据论文中提出物种与环境的关系的原理模型，建立微分方程的数学模型。论文中会给出具体的数学模型，可能是偏微分方程，能够求解就直接用；如果不会就简化为常微分方程也可以。
  3. 微分方程是描述系统的状态随时间和空间演化的数学工具。本题显然是研究几种物种的数量随时间的变化规律。
  4. **特别注意：**给定初始条件的一阶常微分方程（组）的标准形式是：
    d y d t = f ( y , t ) y ( t 0 ) = y 0 \\begincases \\beginaligned &\\fracdydt = f(y,t)\\\\ &y(t_0) = y_0 \\endaligned \\endcases ⎩ ⎨ ⎧​​dtdy​=f(y,t)y(t0​)=y0​​​
    微分方程是微分方程组，式中的 y 是数组向量，有几个物种就有几个变量， y i ( t ) y_i(t) yi​(t) 表示物种 i 的总量随时间 t 的变化。
    也就是说，可以先建立一种或两种物种的模型，分析变化趋势，再依次增多物种数量，分析变化趋势。
  5. **特别注意：**构造外部条件及降雨量随时间的变化函数。
    降雨量函数要满足题目要求：（1）不同的不规则天气周期，既要有干旱周期，又要有降水周期，还要有间隔周期；（2）干旱发生的频率和变化范围。
    如何构造合理的降雨量函数，可以体现能力和创新的。思路一是设计的降雨量函数包含不同的可能模式，思路二是降雨量函数包括地球上典型的干旱模式，思路三是找到非洲地区的降雨量统计。
  6. **特别注意：**污染和栖息地减少等其他因素的影响，需要在模型中增加一个系数，或者一项，反映污染和栖息地减少的影响。直接在模型中增加一个系数，比较简单。
    进一步地，可以构思污染与种群总数相关，是一个随种群总数变化的系数。
  7. **特别注意：**采取什么措施以确保植物群落的长期生存力，应该通过模型研究得到结论。
    建议首先查找资料找到一种或多种靠谱的措施，然后将其量化为一个系数或一项加入模型（跟污染系数的原理是一致的），通过模型研究措施的影响，证明采取的措施是有效的。
    简单地，既然污染会破坏环境，那么防止污染就可以保护环境，可以抑制污染系数的增大。
    又如，水土保持能否量化为模型参数？食物链能否构造模型？
  8. 微分方程模型求解，详见本文后续章节及博客：
  • Python小白的数学建模课-09.微分方程模型（https://youcans.blog.csdn.net/article/details/117702996）
  • Python小白的数学建模课-11.偏微分方程数值解法（https://youcans.blog.csdn.net/article/details/119755450）
    本题要研究时间的变化，因此跟微分方程边值问题没什么关系。
  1. 今天下午将给出一个模型，建议大家收藏本文。

3. 参考资料

3.1 植被变化与降水量、降水变率的关系

自然地理环境是一个有机的整体，组成地理环境的各要素相互影响和制约，共同建造地理环境的总体特征。各个要素的发展演化是统一的，一个要素的演化伴随着其他各个要素的演化。一个地区植被的变化，必然带来当地小气候、水文、土壤、生物等的变化，甚至可能引发相邻地区环境的改变。

地上植被（生物）和水，比较容易受到人类活动的干扰而发生变化。植被变化包含植被覆盖率和植被类型的变化。植被覆盖率大幅度地提高，其涵养水源、保持水土的作用增强，将导致地表径流减小、地下径流增大，水土流失较弱，河流含沙量减少；河流丰水期径流量减少、枯水期径流量增加，对河流径流的调节作用增强；植被光合作用增强、植物蒸腾作用明显增大、空气湿度增加，植被增加导致白天或夏季增温较慢、夜晚或冬季降温较慢、使该地区日温差和年温差减小，对气候的调节作用增强；同时，为其它生物提供了栖息地和延长了食物链，生物多样性增加；通过植物的光合作用和呼吸作用，改变了大气成分；通过生物循环，加快岩石的风化、促成土壤的形成和变化等。反之，植被大幅度退化或破坏，会带来负向的反馈作用。植被类型可粗分为森林、林地、草地、荒漠草地等，它们的反射率、粗糙度、生物量等又有所不同，其变化也会引发一系列的连锁反映。


3.2 长期降水量变化下荒漠草原植物生物量、多样性及其影响因素研究

植物多样性是植物群落维持生态系统稳定性的基础。虽然荒漠草原植被稀少, 但其在防风固沙等方面仍发挥着不可替代的生态服务功能, 然而其植物多样性如何响应长期极端降水量变化尚缺乏深入理解。该研究依托2014年在宁夏荒漠草原设立的降水量变化(减少50%、减少30%、自然、增加30%和增加50%)的野外实验样地, 研究了2020年5–10月植物生物量和物种多样性的变化特征, 分析了二者与土壤性质的关系。随着生长季推移, 植物群落生物量、Patrick丰富度指数和Shannon-Wiener多样性指数呈先增加后降低的时间动态, Pielou均匀度指数和Simpson优势度指数无明显的变化规律。与自然降水量相比, 减少降水量对植物生物量和多样性影响较小, 尤其减少30%降水量; 多数情况下, 增加降水量刺激了苦豆子(Sophora alopecuroides)、短花针茅(Stipa breviflora)、白草(Pennisetum centrasiaticum)等物种生长, 提高了植物生物量, 但亦未明显改变植物多样性(尤其增加30%降水量)。对植物生物量影响显著的土壤因子包括脲酶活性、温度、含水量、pH、磷酸酶活性和蔗糖酶活性(p < 0.05), 对植物多样性影响显著的土壤因子包括含水量、电导率和脲酶活性(p < 0.05)。该研究结果意味着, 连续7年降水量变化下, 研究区植物对适度甚至极端干旱有强的适应性; 适度增加降水量提高了土壤水分有效性、增强了离子移动性、刺激了酶活性, 促进了植物生长。然而, 持续增加降水量导致植物生物量增加、植物耗水增大, 使得生长季后期土壤水分不足, 导致部分植物提前完成生命周期。


3.3 荒漠植物幼苗对模拟降水量变化的响应

以5种荒漠植物红砂、泡泡刺、花棒、白刺和沙拐枣为研究对象,根据当地生长季节内60 d的平均降水量最大为91.2 mm,平均约为50.7 mm,最小约为35.9 mm等基本情况,人工控制了4种降水量处理水平(29、58、88、117 mm)来模拟幼苗生长对生长季节内降水量变化的响应.结果表明,每种植物都以自己的生长策略表现出独特的对降水量变化的响应格局.红砂幼苗的生长高度和高度生长率随着降水量的增加而显著减小,但降水量变化对其生物量和生物量分配及相对含水量影响不显著;降水量显著影响了泡泡刺和白刺幼苗的生长高度、高度生长率、生物量及其分配和相对含水量,但二者在生物量及生物量分配和相对含水量方面的趋势存在差异.泡泡刺幼苗的生长高度、高度绝对生长率、生物量及其分配等都随着降水量的增加而呈抛物线趋势;白刺幼苗以萎蔫老叶、发出新芽的方式来适应干旱环境.降水量显著影响了花棒幼苗的绝对高度生长率、生物量干重、生物量分配和相对含水量,但对生长高度和相对高度生长率影响不明显;沙拐枣幼苗的相对高度生长率和生物量干重对降水量的响应不敏感,但从其幼苗的生长高度和绝对高度生长率来看,沙拐枣幼苗的存活需要较多的水分.花棒和沙拐枣在不同降水量处理下对地上、地下生物量的分配方式相反,但降水量偏少限制了二者的生长.红砂和白刺幼苗更适合于在适宜在降水量为29 mm的环境中生存,泡泡刺幼苗阶段适宜在降水量为58~88 mm的环境中生长,而花棒和沙拐枣在幼苗阶段的生长更偏向于降水量多于88 mm的条件.


3.4 中亚地区1982年至2002年植被指数与气温和降水的相关性分析

本文利用1982年2002年间AVHRR-NDVI数据和气候研究组(CRU)降水与气温数据,分析了中亚5国21年来NDVI年际与季节变化特征及其与气候因子的相关关系。结果表明:①在植被生长季,53%地区NDVI年变化率<±0.0005NDVI/a(无变化),40%地区NDVI年变化率>0.0005NDVI/a(增加),6%地区NDVI年变化率<-0.0005NDVI/a(下降);按照植被覆盖类型,除常绿林、高山草甸年均NDVI呈一定的上升趋势,变化率分别为0.0014NDVI/a(p0.05=0.001),0.0009NDVI/a(p0.05=0.001),落叶林、草原、作物、草原化荒漠NDVI没有显著变化(p0.05>0.05);②年均NDVI与降水、温度相关性分析结果表明,49.00%的地区年均NDVI与年降水量呈正相关,52.33%的地区NDVI与春季降水量正相关,33.69%的地区NDVI与夏季降水量正相关,70.00%的地区年均NDVI与各季气温弱相关,仅17.78%的地区年均NDVI与年均气温正相关;6种植被类型NDVI与降水、气温相关关系为,常绿林、高山草甸年均NDVI与年均气温分别低度、显著正相关性,相关系数分别为0.432(p0.05=0.05)、0.557(p0.05=0.009);草原、作物与年降水量分别显著、低度正相关,相关系数分别为0.511(p0.05=0.018)、0.476(p0.05=0.029);落叶林NDVI与夏、冬季降水量低度正相关,相关系数分别为0.415(p0.05=0.061)、0.461(p0.05=0.035);草原化荒漠NDVI与春季降水量正相关但不显著,相关系数为0.415(p0.05=0.061)。


3.5 内蒙古典型草原生长季内植物生长动态的数学模型与计算机模拟研究

生物种群的研究方法正在从静态走向动态模拟，从定性描述走向定量和模型化，并向多学科交叉的方向发展。植物生长动态模型就是集多学科知识为一体，以数学模型、系统分析原理和计算机模拟的技术来定量地描述植物的生长、发育、产量形成的过程及其对环境的反应。因此，采用植物生长动态模拟方法不但可以预测生物量，而且便于对生长过程进行分析，从机理上揭示不同植物生物量形成的内在规律及其与环境的关系，有助于进一步认识组成草原群落的各个种群的增长特点及互补功能，对把握草地的可持续利用具有重要意义。 论文以种群生态学理论为指导，以著名的Logistic方程为基础，建立了植物生物量积累随单因素和多因素变化的数学模型，运用数理统计及微分方程理论，结合计算机模拟技术，在内蒙古典型草原退化后围栏封育24年的羊草+大针茅样地，选择不同退化阶段的代表性植物羊草、大针茅、冰草、冷蒿，对其在同一个生长季内的生长动态及其差异进行模拟和比较研究；作为对经典的Lotka-Volterra模型的演绎和应用，建立了植物对水分利用的种间竞争模型，以羊草、大针茅为对象，模拟其竞争状态下的生长动态，分析植物生长系统的稳定性。 (1)阐述选用代表种(重要种)羊草、大针茅、冰草、冷蒿的研究依据及意义；运用数理统计方法，分别对采样数据进行分析、检验，结果表明，每一采样日期下的植物单株生物量数据基本满足正态分布。 (2)根据实测数据，采用多种数量化指标，分别比较一个生长季内的生长动态、绝对生长速率AGR、相对生长速率RGR。结果表明，植物地上生物量均呈S形增长，8月中旬达到最大值；主要生长季内受降水不足的抑制作用依次为：羊草>冰草>大针茅>冷蒿。生长主要集中在中前期，AGR大小依次为：冷蒿(0．0993 g·株-1·d-1)>大针茅(0．0295 g·株-1·d-1)>羊草(0．0024 g·株-1·d-1)>冰草(0．0022 g·株-1·d-1)。生长季初期RGR均表现出最高，依次为：冷蒿(0．1079 g·株-1·d-1·g-1)>大针茅(0．0643 g·株-1·d-1·g-1)>羊草(0．0553 g·株-1·d-1·g-1)>冰草(0．0422g·株-1·d-1·g-1)。不同的生活型，其生长曲线、生长速率都存在很大的差异，但同属于根茎型的羊草和冰草，其生长动态却明显相似。 (3)采用Logistic模型分别对其一个生长季内的生长动态及其差异进行模拟和比较研究。根据种群动态模型的一般形式，推导了个体生长模型的数学依据；通过对Logistic模型进行求解和分析，结合生态学理论，将植物生长划分为四个阶段，确定了速生期和突变点；结合模型分析诠释了模型的物理意义；对植物的持续生长期从生态学的角度给出了时间概念上的定义及相应的解释，并由此对草地管理及可持续利用提出了保护建议。根据实测数据进行拟合，结果表明，四种植物均符合Logistic增长，拟合方程分别为：y= 0.200/(1+e2.032-0.060t)，y=1.205/(1+e2.608-0.042t),y=0.156/(1+e1.858-0.040t), y=3.177/(1+e2.770-0.077t)，由模型求出了植物的最大生长速度，从大到小依次为：冷蒿6．112e-02(g·株-1·d-1)>大针茅1．267e-02(g·株-1·d-1)>羊草2．995e-03(g·株-1·d-1)>冰草1．561e-03(g·株-1·d-1)；分属于不同生活型的羊草、大针茅、冷蒿在生长速度及生长曲线上均存在较大差异，而同一生活型(life form)中，羊草和冰草二者差异不大，在整个生长季内呈现相似的动态变化。 (4)提出了改进的植物生长模型(?)，推导出单因素的植物生长模型(?)和多因素的植物生长模型(?)；采用多元线性回归和Logistic方程相集成的办法，证明了模型(?)能够模拟和预测不同年份的植物生物量；并且多因素影响下生物量的相对增长量W随时间t的变化(?)仍是符合Logistic规律的，模型同时给出了综合参数(?)和(?)的估算方法。 (5)运用偏相关分析和逐步回归法确定了降水和积温因子是4种植物生物量形成的重要因子，但降水较积温因子的影响更大(r12,3>r13,2;R(1(2))2 > R(1(3))2)；对4种植物影响的重要性次序为：羊草(0．964)>冰草(0．937)>大针茅(0．928)>冷蒿(0．906)；积温对植物影响的重要性次序为：羊草(0．918)>大针茅(0．909)>冰草(0．875)>冷蒿(0．754)。采用本文建立的单因素、多因素的植物生长模型，分别对4种植物生长特征进行了模拟和比较，结果表明，植物单株生物量随降水量变化、积温变化以及水热因子共同变化的潜在最大值一致表现为：冷蒿>大针茅>羊草>冰草，说明冷蒿具有较大的产量潜力；相对生长率的最大值一致表现为：冷蒿>大针茅>羊草>冰草，其中羊草和冰草的产量潜力、相对生长率最大值、相对生长率取得最大值的时间都很接近，说明二者具有相似的生长特征。 (6)植物种间竞争模型的建立与分析。针对水分是当地植物生长限制因子的现实，建立了一个以水资源为约束条件的种间竞争的植物生长模型：dN1/dt = (r1N1)/K1(K1-N1-αλ2K1/r1VV1N2)dN2/dt = r2N2/K2(K2-N2-βλ1K2/r2VV2N1)与经典Lotka-Volterra模型相比，在涉及第二个种的地方引入了生态因子项，用以描述羊草与大针茅在竞争状态下的生长动态；并运用微分方程稳定性理论，分析了植物生长系统的稳定性。根据参数p3、q2的含义，分别对假定q2=q2(N2)=r1/(1+a2N2), p3=p3(N1) =r2/(1+a1N1)的情形下，进行了计算机模拟与数值分析，得到了各参数及模拟图象。结果表明，羊草和大针茅的生长均表现出与环境一定程度的适应性，其中羊草相对大针茅处于优势地位，逐渐成为建群种，而大针茅处于被抑制状态，但由于它们存在着某些生态位的分化，形成了既竞争又稳定共存的格局，显示出系统持续稳定生长的态势，其生长状况的某些特征已经接近原生群落。


3.6 降水量的季节分配对羊草草原群落地上部生物量影响的数学模型

根据羊草草原群落地上部生物量连续１３ａ的定位观测资料，分析了降水量及其季节分配对群落地上部生物量年度波动的影响，并应用积分回归模型，计算出１～７月各旬降水量对群落地上部生物量的影响系数。结果表明：降水量的年度变化及其季节分配直接导致了羊草草原群落地上部生物量的年度波动，１～４月及７月的旬降水量对群落地上部生物量均具有正效应，是植物对水分需求的两个关键时期。其中，１～４月的正效应大于７月，说明早期的水分条件对多年生植物的越冬、返青和生长发育极为重要；而５～６月的旬降水量则相反，表现为负效应，这是植物同干旱环境协同进化的结果。这期间较少的降水有利于植物根系的生长和贮藏营养物质的积累，为植物进入速生期做物质和能量的准备；同时，降水量对植物群落地上部生物量的影响具有放大效应。


以下内容只供参考

3. 微分方程模型求解

3.1 基本概念

微分方程是描述系统的状态随时间和空间演化的数学工具。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域也有广泛应用。

具体来说，微分方程是指含有未知函数及其导数的关系式。

  • 微分方程按自变量个数分为：只有一个自变量的常微分方程（Ordinary Differential Equations）和包含两个或两个以上独立变量的偏微分方程（Partial Differential Equations）。
  • 微分方程按阶数分为：一阶、二阶、高阶，微分方程的阶数取决于方程中最高次导数的阶数。
  • 微分方程还可以分为：（非）齐次，常（变）系数，（非）线性，初值问题/边界问题…

3.2 微分方程的数学建模

微分方程的数学建模其实并不复杂，基本过程就是分析题目属于哪一类问题、可以选择什么微分方程模型，然后如何使用现有的微分方程模型建模。

在数学、力学、物理、化学等各个学科领域的课程中，针对该学科的各种问题都会建立适当的数学模型。在中学课程中，各学科的数学模型主要是线性或非线性方程，而在大学物理和各专业的课程中，越来越多地出现用微分方程描述的数学模型。

数学建模中的微分方程问题，通常还是这些专业课程中相对简单的模型，专业课程的教材在介绍一个模型时，往往都做了非常详细的讲解。只要搞清楚问题的类型、选择好数学模型，建模和求解并不是很难，而且在撰写论文时对问题背景、使用范围、假设条件、求解过程有大量现成的内容可以复制参考。

希望你在学习本系列之后，会发现微分方程模型是数学建模中最容易的题型：模型找教材，建模找例题，求解有例程，讨论有套路，论文够档次。


3.3 微分方程的数值解法

在学习专业课程时，经常会推导和求解微分方程的解析解，小白对微分方程模型的恐惧就是从高等数学“微分方程”开始，经过专业课的不断强化而形成的。实际上，只有很少的微分方程可以解析求解，大多数的微分方程只能采用数值方法进行求解。

微分方程的数值求解是先把时间和空间离散化，然后将微分化为差分，建立递推关系，然后反复进行迭代计算，得到任意时间和空间的值。

如果你还是觉得头晕目眩，我们可以说的更简单一些。建模就是把专业课教材上的公式抄下来，求解就是把公式的参数输入到 Python 函数中。

我们先说求解。求解常微分方程的基本方法，有欧拉法、龙格库塔法等，可以详见各种教材，撰写数模竞赛论文时还是可以抄几段的。本文沿用“编程方案”的概念，不涉及这些算法的具体内容，只探讨如何使用 Python 的工具包、库函数，零基础求解微分方程模型。

我们的选择是 Python 常用工具包三剑客：Scipy、Numpy 和 Matplotlib：

  • Scipy 是 Python 算法库和数学工具包，包括最优化、线性代数、积分、插值、特殊函数、傅里叶变换、信号和图像处理、常微分方程求解等模块。有人介绍 Scipy 就是 Python 语言的 Matlab，所以大部分数学建模问题都可以用它搞定。
  • Numpy 提供了高维数组的实现与计算的功能，如线性代数运算、傅里叶变换及随机数生成，另外还提供了与 C/C++ 等语言的集成工具。
  • Matplotlib 是可视化工具包，可以方便地绘制各种数据可视化图表，如折线图、散点图、直方图、条形图、箱形图、饼图、三维图，等等。

顺便说一句，还有一个 Python 符号运算工具包 SymPy，以解析方式求解积分、微分方程，也就是说给出的结果是微分方程的解析解表达式。很牛，但只能求解有解析解的微分方程，所以，你知道就可以了。


4. SciPy 求解常微分方程（组）

4.1 一阶常微分方程（组）模型

给定初始条件的一阶常微分方程（组）的标准形式是：
d y d t = f ( y , t ) y ( t 0 ) = y 0 \\begincases \\beginaligned &\\fracdydt = f(y,t)\\\\ &y(t_0) = y_0 \\endaligned \\endcases ⎩ ⎨ ⎧​​dtdy​=f(y,t)y(t0​)=y0​​​

式中的 y 在常微分方程中是标量，在常微分方程组中是数组向量。


4.2 scipy.integrate.odeint() 函数

SciPy 提供了两种方式求解常微分方程：基于 odeint 函数的 API 比较简单易学，基于 ode 类的面向对象的 API 更加灵活。

**scipy.integrate.odeint() **是求解微分方程的具体方法，通过数值积分来求解常微分方程组。在 odeint 函数内部使用 FORTRAN 库 odepack 中的 lsoda，可以求解一阶刚性系统和非刚性系统的初值问题。官网介绍详见： scipy.integrate.odeint — SciPy v1.6.3 Reference Guide 。

scipy.integrate.odeint(func, y0, t, args=(), Dfun=None, col_deriv=0, full_output=0, ml=None, mu=None, rtol=None, atol=None, tcrit=None, h0=0.0, hmax=0.0, hmin=0.0, ixpr=0, mxstep=0, mxhnil=0, mxordn=12, mxords=5, printmessg=0, tfirst=False)

odeint 的主要参数：

求解标准形式的微分方程（组）主要使用前三个参数：

  • func: callable(y, t, …) 　　导数函数 f ( y , t ) f(y,t) f(y,t) ，即 y 在 t 处的导数，以函数的形式表示
  • y0: array：　　初始条件 y 0 y_0 y0​，对于常微分方程组 y 0 y_0 y0​ 则为数组向量
  • t: array：　　求解函数值对应的时间点的序列。序列的第一个元素是与初始条件 y 0 y_0 y0​ 对应的初始时间 t 0 t_0 t0​；时间序列必须是单调递增或单调递减的，允许重复值。

其它参数简介如下：

  • args: 向导数函数 func 传递参数。当导数函数 f ( y , t , p 1 , p 2 , . . ) f(y,t,p1,p2,..) f(y,t,p1,p2,..) 包括可变参数 p1,p2… 时，通过 args =(p1,p2,…) 可以将参数p1,p2… 传递给导数函数 func。argus 的用法参见 2.4 中的实例2。

  • Dfun: func 的雅可比矩阵，行优先。如果 Dfun 未给出，则算法自动推导。

  • col_deriv: 自动推导 Dfun的方式。

  • printmessg: 布尔值。控制是否打印收敛信息。

  • 其它参数用于控制求解算法的参数，一般情况可以忽略。

odeint 的主要返回值：

  • y: array 　　数组，形状为 (len(t),len(y0)，给出时间序列 t 中每个时刻的 y 值。

5. 实例1：Scipy 求解一阶常微分方程

5.1 例题 1：求微分方程的数值解

d y d t = s i n ( t 2 ) y ( − 10 ) = 1 \\begincases \\beginaligned &\\fracdydt = sin(t^2)\\\\ &y(-10) = 1 \\endaligned \\endcases ⎩ ⎨ ⎧​​2023年数学建模美赛D题（Prioritizing the UN Sustainability Goals）分析与编程

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