邓俊辉数据结构学习-8-3-红黑树

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了邓俊辉数据结构学习-8-3-红黑树相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

红黑树

动机

Q: 在已经有了AVL之类的BBST,为什么还需要引入红黑树?

A: 我们希望数据结构具有关联性,即相邻版本之间,比如说第一次插入,和第二次插入时,树的结构不能发生太大变化,

应该可以经过O(1)次数就可以变化完成。

对于AVL树来说,插入是满足这个条件的,删除却不满足这个条件。

红黑树就满足这一特性,插入和删除操作后的拓扑变化不会超过O(1)。

定义

前提:给红黑树添加外部节点,保证为真二叉树

  1. 树根:必为黑色,即帽子是黑色
  2. 外部节点:必为黑色,即靴子为黑色
  3. 其余节点:若为红节点,则只能有黑色孩子
    • 红之子,之父必须为黑色
  4. 外部节点到根:途中黑节点数目相等
    • 所有外部节点到根经过的黑色节点数目相同,用来控制平衡

直观解释:

提升变换后(即每一个红色节点和它的父亲平齐)

所有底层节点处于同一水平高度。

红黑树就变换成一颗2-4树,我们将红黑树的每个黑色节点和提升后的红色节点(可能没有)看做B树的一个Super节点
红黑树就完全等价于一颗B树,而且可以看到的是,因为红黑树所有外部节点到根的经过的黑色数目相同,在B树中,则
更加能体现这一特征

实现

比较重要的差别在于红黑树的高度叫做黑高度,即只计算黑色节点的高度

int updateHeight(BinNodePos(T))
{
    //原来的高度计算方法,但现在只计算黑色节点x->height = max(x->lc->height, x->rc->height) + 1 ;
    x->height = max(x->lc->height, x->rc->height);
    if(IsBlack(x))
        ++x->height;
    return x->height;
}

插入

tips 借助B树理解红黑树

理解:

在不失一般性的情况下插入一个新节点e,我们将其染为红色。目的是尽可能的满足红黑树的4条性质。可以看到
1,2,4都满足。但是3不一定。因此e的父亲可能是黑色可能是红色。如果是黑色,插入成功返回即可。如果是红色的话
此时我们就需要解决双红冲突的问题了。

双红冲突--黑色叔父

前提:当新插入节点的e的父亲为红色时,其父亲必然不是根节点,且其祖父节点必然是黑色,否则其父节点也不可能是
红色。

此时我们观察其叔父节点

情形1:

当被删除节点的兄弟为黑色的时候{:.warning}

我们不难发现

  • B树变换:借助B树的影子进行理解,当叔父节点为黑色时,相当于发生了这样一种情况。整个Super节点变为了
    RRB的情形,此时在B树中,我们只要将其重新染为RBR的颜色即可。
  • RB树变换:直接利用3+4重构的方式,依照B树染色后的图进行构造就可以得到调整后的RB树变换
                          node g
                          ┌───┐
                   ┌ ─ ─ ─│███│────┐
                          └───┘    │                           node p
                   ▼               ▼                           ┌───┐
           node p .─.      node u┌───┐                  ┌ ─ ─ ─│███│─ ─ ─ ─ ┐
          ┌ ─ ─ ─(red)─────┐     │███│                         └───┘        
                  `─‘      │     ├───┤                  ▼                   ▼
          ▼                ▼     │***│          node e .─.           node g.─.
  node e .─.             ┌───┐   │***│ ───?      ┌────(red)────┐        ┌─(red)──┐
   ┌────(red)────┐       │███│   │***│           │     `─‘     │        │  `─‘   │
   │     `─‘     │       ├───┤   └───┘           ▼             ▼        ▼ node u ▼
   ▼             ▼       │***│                 ┌───┐         ┌───┐    ┌───┐    ┌───┐
 ┌───┐         ┌───┐     │***│                 │███│         │███│    │███│    │███│
 │███│         │███│     │***│                 ├───┤         ├───┤    ├───┤    ├───┤
 ├───┤         ├───┤     └───┘                 │***│         │***│    │***│    │***│
 │***│         │***│    ┌───────────────────┐  │***│         │***│    │***│    │***│
 │***│         │***│    │  directRB change  │  │***│         │***│    │***│    │***│
 │***│         │***│    └───────────────────┘  └───┘         └───┘    └───┘    └───┘
 └───┘     ║   └───┘                                               ▲
           ║                                                       ║
           ║                                                       ║
           ▼                                                       ║

   node e  node p  node g                              node e  node p  node g
        .─.  .─.  ┌───┐      ┌─────────────────────┐        .─. ┌───┐  .─.
  ┌────(red│(red)││███│───┐  │  indirectBT change  │  ┌────(red││███││(red)───┐
  │     `─‘│ `─‘ │└───┘   │  └─────────────────────┘  │     `─‘│└───┘│ `─‘    │
  │        │     │        │     ══════════════════?   │        │     │        │
  ▼        ▼     ▼  node u▼                           ▼        ▼     ▼  node u▼
┌───┐    ┌───┐ ┌───┐    ┌───┐                       ┌───┐    ┌───┐ ┌───┐    ┌───┐
│███│    │███│ │███│    │███│                       │███│    │███│ │███│    │███│
├───┤    ├───┤ ├───┤    ├───┤                       ├───┤    ├───┤ ├───┤    ├───┤
│***│    │***│ │***│    │***│                       │***│    │***│ │***│    │***│
│***│    │***│ │***│    │***│                       │***│    │***│ │***│    │***│
│***│    │***│ │***│    │***│                       │***│    │***│ │***│    │***│
└───┘    └───┘ └───┘    └───┘                       └───┘    └───┘ └───┘    └───┘
                                                    

同理,对于zag-zig的情形处理类似依然使用简单的3+4重构方式处理就可以了,还有另外俩种对称形式类似。

                          node g
                          ┌───┐        ┌───────────────────┐
               ─ ─ ─ ─ ─ ─│███│────┐   │  directRB change  │
              │           └───┘    │   └───────────────────┘   node e
              ▼                    ▼                           ┌───┐
           node p          node u┌───┐                  ┌ ─ ─ ─│███│─ ─ ─ ─ ┐
        ┌───(red)─ ─ ─           │███│                         └───┘
        │    `─‘      │          ├───┤                  ▼                   ▼
        │             ▼          │***│          node p .─.           node g.─.
        │       node e─.         │T3*│ ───?      ┌────(red)───┐        ┌─ (red)────┐
        ▼         ┌─(red)─┐      │***│           │     `─‘    │        │   `─‘     │
      ┌───┐       │  `─‘  │      └───┘           ▼            ▼        ▼    node u ▼
      │███│       ▼       ▼                    ┌───┐        ┌───┐    ┌───┐       ┌───┐
      ├───┤     ┌───┐   ┌───┐                  │███│        │███│    │███│       │███│
      │***│     │███│   │███│                  ├───┤        ├───┤    ├───┤       ├───┤
      │T0*│     ├───┤   ├───┤                  │***│        │***│    │***│       │***│
      │***│     │***│   │***│                  │T0*│        │T1*│    │T2*│       │T3*│
      └───┘     │T1*│   │T2*│                  │***│        │***│    │***│       │***│
                │***│   │***│                  └───┘        └───┘    └───┘       └───┘
           ║    └───┘   └───┘                                      ▲
           ║                                                       ║
           ║                                                       ║
           ▼                                                       ║

   node p  node e  node g                              node p  node e  node g
        .─.  .─.  ┌───┐      ┌─────────────────────┐        .─. ┌───┐  .─.
  ┌────(red│(red)││███│───┐  │  indirectBT change  │  ┌────(red││███││(red)───┐
  │     `─‘│ `─‘ │└───┘   │  └─────────────────────┘  │     `─‘│└───┘│ `─‘    │
  │        │     │        │     ══════════════════?   │        │     │        │
  ▼        ▼     ▼  node u▼                           ▼        ▼     ▼  node u▼
┌───┐    ┌───┐ ┌───┐    ┌───┐                       ┌───┐    ┌───┐ ┌───┐    ┌───┐
│███│    │███│ │███│    │███│                       │███│    │███│ │███│    │███│
├───┤    ├───┤ ├───┤    ├───┤                       ├───┤    ├───┤ ├───┤    ├───┤
│***│    │***│ │***│    │***│                       │***│    │***│ │***│    │***│
│T0*│    │T1*│ │T2*│    │T3*│                       │T0*│    │T1*│ │T2*│    │T3*│
│***│    │***│ │***│    │***│                       │***│    │***│ │***│    │***│
└───┘    └───┘ └───┘    └───┘                       └───┘    └───┘ └───┘    └───┘

双红冲突--红色叔父

此时我们观察其叔父节点

情形2:当叔父节点为红色的时候

就会变成RRBR的形式,此时节点发生上溢出。在B树中我们采取的方式是分裂。

  • B树变换:在B树中,我们要将中位节点上溢,从而保证B树的合理性。
  • RB树变换:在RB树中,我们仅仅是做了提升变换将其变为B树,所以实际上只需要改变颜色,就可以对其B树的
    影子完成分层,从而完成RB树变换
    • 在红黑树种,只要将一个树的颜色染为红色,就相当于在B树的影子中让其向上一层
    • 染为黑色,则代表这就是B树的影子中的某一层
    • 简单结论就是:在B树中的影子处于同一层的红黑树节点,黑色的节点高度必须必红色的节点高
                           nodeG                                              nodeG                     
                           ┌───┐                                               .─.                      
                ┌ ─ ─ ─ ─ ─│███│─ ─ ─                              ┌──────────(red)─────┐               
                           └───┘     │                             │           `─‘      │               
                ▼                    ▼                             ▼                    ▼               
         nodeP .─.            nodeU .─.                     nodeP┌───┐           nodeU┌───┐             
         ┌────(red)─ ─          ┌──(red)─┐                  ┌────│███│─ ─          ┌──│███│─┐           
         │     `─‘    │         │   `─‘  │                  │    └───┘   │         │  └───┘ │           
         │            ▼         ▼        ▼  ───────────?    │            ▼         ▼        ▼           
         ▼     nodeE .─.      ┌───┐    ┌───┐                ▼     nodeE .─.      ┌───┐    ┌───┐         
       ┌───┐      ┌─(red)─┐   │███│    │███│              ┌───┐      ┌─(red)─┐   │███│    │███│         
       │███│      │  `─‘  │   ├───┤    ├───┤              │███│      │  `─‘  │   ├───┤    ├───┤         
       ├───┤      ▼       ▼   │***│    │***│              ├───┤      ▼       ▼   │***│    │***│         
       │***│    ┌───┐   ┌───┐ │***│    │***│              │***│    ┌───┐   ┌───┐ │***│    │***│         
       │***│    │███│   │███│ │***│    │***│              │***│    │███│   │███│ │***│    │***│         
       │***│    ├───┤   ├───┤ └───┘    └───┘              │***│    ├───┤   ├───┤ └───┘    └───┘         
       └───┘    │***│   │***│                             └───┘    │***│   │***│      ▲                 
                │***│   │***│       ┌───────────────────┐          │***│   │***│      ║                 
                │***│   │***│       │  directRB change  │          │***│   │***│      ║                 
             ║  └───┘   └───┘       └───────────────────┘          └───┘   └───┘      ║                 
             ║                                                                                          
             ║                                                                      nodeG               
             ▼                                                                ┌───┐  .─.  ┌───┐         
                                                                        ┌─────┤???├─(red)─┤???├──┐      
                                                                        │     └───┘  `─‘  └───┘  │      
        nodeP nodeE nodeG nodeU                                         ▼                        ▼      
          .─.  .─.  ┌───┐  .─.         ┌─────────────────────┐     nodeP  nodeE                nodeU    
    ┌────(red│(red)││███││(red)───┐    │  indirectBT change  │     ┌───┐   .─.                 ┌───┐    
    │     `─‘│ `─‘ │└───┘│ `─‘    │    └─────────────────────┘   ┌─│███│ │(red)──┐          ┌──│███│─┐  
    │        │     │     │        │       ══════════════════?    │ └───┘ │ `─‘   │          │  └───┘ │  
    ▼        ▼     ▼     ▼        ▼                              │       │       │          │        │  
    ┌───┐    ┌───┐ ┌───┐ ┌───┐    ┌───┐                            ▼       ▼       ▼          ▼        ▼  
    │███│    │███│ │███│ │███│    │███│                          ┌───┐   ┌───┐   ┌───┐      ┌───┐    ┌───┐
    ├───┤    ├───┤ ├───┤ ├───┤    ├───┤                          │███│   │███│   │███│      │███│    │███│
    │***│    │***│ │***│ │***│    │***│                          ├───┤   ├───┤   ├───┤      ├───┤    ├───┤
    │***│    │***│ │***│ │***│    │***│                          │***│   │***│   │***│      │***│    │***│
    │***│    │***│ │***│ │***│    │***│                          │***│   │***│   │***│      │***│    │***│
    └───┘    └───┘ └───┘ └───┘    └───┘                          │***│   │***│   │***│      │***│    │***│
                                                               └───┘   └───┘   └───┘      └───┘    └───┘
          这里有个中间的染色步骤,此时P,E构成新节点,他们都是红色,但是P的高度要高于E,所以讲P染成黑色。
          而U是红色,U要成为新的B树节点,所以必须保证这个节点里有一个黑色,所以将U染为黑色。

    相应的zigzig变化过程

                           nodeG                                              nodeG
                           ┌───┐                                               .─.
                ┌ ─ ─ ─ ─ ─│███│─ ─ ─                              ┌──────────(red)─────┐
                           └───┘     │                             │           `─‘      │
                ▼                    ▼                             ▼                    ▼
         nodeP .─.            nodeU .─.                          ┌───┐     nodeP nodeU┌───┐
         ┌ ─ ─(red)────┐        ┌──(red)─┐                    ┌ ─│███│─────┐       ┌──│███│─┐
               `─‘     │        │   `─‘  │                       └───┘     │       │  └───┘ │
         ▼             │        ▼        ▼  ───────────?      ▼            │       ▼        ▼
    nodeE .─.            ▼      ┌───┐    ┌───┐           nodeE .─.           ▼     ┌───┐    ┌───┐
     ┌─(red)──┐      ┌───┐    │███│    │███│              ┌─(red)─┐      ┌───┐   │███│    │███│
     │  `─‘   │      │███│    ├───┤    ├───┤              │  `─‘  │      │███│   ├───┤    ├───┤
     ▼        ▼      ├───┤    │***│    │***│              ▼       ▼      ├───┤   │***│    │***│
     ┌───┐    ┌───┐    │***│    │***│    │***│            ┌───┐   ┌───┐    │***│   │***│    │***│
     │███│    │███│    │***│    │***│    │***│            │███│   │███│    │***│   │***│    │***│
     ├───┤    ├───┤    │***│    └───┘    └───┘            ├───┤   ├───┤    │***│   └───┘    └───┘
     │***│    │***│    └───┘                              │***│   │***│    └───┘        ▲
     │***│    │***│                   ┌───────────────────┤***│   │***│                 ║
     │***│    │***│                   │  directRB change  │***│   │***│                 ║
     └───┘    └╦──┘                   └───────────────────┴───┘   └───┘                 ║
             ║
             ║                                                                      nodeG
             ▼                                                                ┌───┐  .─.  ┌───┐
                                                                        ┌─────┤???├─(red)─┤???├──┐
                                                                        │     └───┘  `─‘  └───┘  │
        nodeE nodeP nodeG nodeU                                         ▼                        ▼
          .─.  .─.  ┌───┐  .─.         ┌─────────────────────┐     nodeE   nodeP               nodeU
    ┌────(red│(red)││███││(red)───┐    │  indirectBT change  │      .─.    ┌───┐               ┌───┐
    │     `─‘│ `─‘ │└───┘│ `─‘    │    └─────────────────────┘   ┌─(red)─┬─┤███├─┐          ┌──│███│─┐
    │        │     │     │        │       ══════════════════?    │  `─‘  │ └───┘ │          │  └───┘ │
    ▼        ▼     ▼     ▼        ▼                              │       │       │          │        │
    ┌───┐    ┌───┐ ┌───┐ ┌───┐    ┌───┐                            ▼       ▼       ▼          ▼        ▼
    │███│    │███│ │███│ │███│    │███│                          ┌───┐   ┌───┐   ┌───┐      ┌───┐    ┌───┐
    ├───┤    ├───┤ ├───┤ ├───┤    ├───┤                          │███│   │███│   │███│      │███│    │███│
    │***│    │***│ │***│ │***│    │***│                          ├───┤   ├───┤   ├───┤      ├───┤    ├───┤
    │***│    │***│ │***│ │***│    │***│                          │***│   │***│   │***│      │***│    │***│
    │***│    │***│ │***│ │***│    │***│                          │***│   │***│   │***│      │***│    │***│
    └───┘    └───┘ └───┘ └───┘    └───┘                          │***│   │***│   │***│      │***│    │***│
                                                               └───┘   └───┘   └───┘      └───┘    └───┘

    总结

    至此,红黑树的插入完毕,可以看到,插入总共需要进行俩种情况的处理。
  1. 第一种需要进行RB树的重构,但是,只需要一次就完成了红黑树的调整。
  2. 第二种虽然有可能递归logN次,但是,由于并不需要进行结构调整,仅仅是进行染色。所以依然认为其满足RB
    树的特点
  • 即在插入后,RB树的拓扑调整最多不超过O(1)次。

删除

平凡情况——删除节点或其后继有一个为红色

RB树的删除,我们依然先调用BST的removeAt算法。被删除节点会由其右孩子(有可能不存在)添补而上。

              ┌───┐                                    ┌───┐          
             p│███│                                    │███│          
              └─┬─┘                                    └─┬─┘    ┌────┐
                                                         │      │succ│
┌──────────┐    │      ┌────┐                            │      └────┘
│deleteNode│─┐  ▼      │succ│                            ▼         │  
└──────────┘x└?.─.     └────┘      ──────────?         ┌───┐?──────┘  
         ┌────(red)──────┐│                       ┌────│███│────┐     
         ▼     `─‘       ▼▼                       ▼    └───┘    ▼     
       ┌───┐          r┌───┐                    ┌───┐         ┌───┐   
      w│nul│         ┌─┤███│ ──┐              rl│nul│       rr│???│   
       └───┘         │ └───┘   │                └───┘         └───┘   
                     ▼         ▼                                      
                   ┌───┐     ┌───┐                                    
                 rl│nul│   rr│???│                                    
                   └───┘     └───┘                                    

我们认为被删除节点为红色,那么其左右孩子节点,父亲节点则一定为黑色。根据性质3。

首先要明白removeAt的语义,x节点最多只有一个孩子。在这里我们不妨认为其是r(r也有可能不存在,即也是外部节点)
那么另外一个孩子w则是外部节点,同样依然可以是对称的情况

当x被删除后,条件3不会受到任何影响,r接替x,rl和rr上的外部节点高度不受任何影响。理解为删除虚边之后,RB树
的节点不受影响。

按照B树的观点来理解,删除红色节点,对于Super节点不会有任何影响,因为Super节点的主要承担者是黑色节点

               ┌───┐                                    ┌───┐          
               │???│                                    │???│          
               └─┳─┘                                    └─┳─┘    ┌────┐
                 ┃                                        ┃      │succ│
┌──────────┐     ┃      ┌────┐                            ┃      └────┘
│deleteNode│─┐   ▼      │succ│                            ▼         │  
└──────────┘ └?┌───┐    └────┘      ──────────?         ┌───┐?──────┘  
          ┌────│███│─ ─ ─ ┐│                       ┌────│███│────┐     
          ▼    └───┘      ▼▼                       ▼    └───┘    ▼     
        ┌───┐            .─.                     ┌───┐         ┌───┐   
        │nul│        ─ ─(red) ─ ┐                │nul│         │???│   
        └───┘       │    `─‘                     └───┘         └───┘   
                    ▼           ▼                                      
                  ┌───┐       ┌───┐                                    
                  │nul│       │███│                                    
                  └───┘       └───┘                                    

同样依然理解为删除虚边之后,黑高度不受影响。

按照B树的观点来理解,删除黑色节点,B树的Super节点会少1,因此需要补充一个黑色节点。所以补充在原位置上的红色
节点被染黑。而消失一个红色节点却不影响这个B树的高度。

DoubleBlack

当俩个节点都为黑色的时候,删除一个必定会导致B树高度减少,从而不稳定。此时就分为4种情况。

情形1:
被删除节点的兄弟节点为黑色,且其有一个红色孩子,意思就是被删除节点X有一个红色的侄子,

则按照B树的观点来看,兄弟比较富裕,因此可以通过旋转的方式调整

按照RB树的观点来看,直接3+4重构即可,然后染色

                             nodeP
                             ┌───┐                                         nodeS
                  ┌ ─ ─ ─ ─ ─│???│─ ─ ─                                    ┌───┐
                             └───┘     │                            ┌──────│???│──────┐
                  ▼                    ▼                            │      └───┘      │
           nodeS┌───┐           nodeX┌───┐                          │                 │
           ┌ ─ ─│███│────┐           │███│                          │                 │
                └───┘    │           └─┬─┘                        no▼eT             no▼eP
           ▼             │             │   ───────────?           ┌───┐             ┌───┐
    nodeT .─.            ▼             ▼                      ┌───│███│───┐       ┌─│███│───┐
       ┌─(red)──┐      ┌───┐         ┌───┐                    │   └───┘   │       │ └───┘   │
       │  `─‘   │      │???│    nodeR│███│                    │           │       │         │
       ▼        ▼      ├───┤         ├───┤                    ▼           ▼       ▼         ▼
     ┌───┐    ┌───┐    │***│         │***│                  ┌───┐       ┌───┐   ┌───┐     ┌───┐
     │███│    │███│    │***│         │***│                  │███│       │███│   │???│     │███│ nodeR/X
     ├───┤    ├───┤    │***│         │***│                  ├───┤       ├───┤   ├───┤     ├───┤
     │***│    │***│    └───┘         └───┘                  │***│       │***│   │***│     │***│
     │***│    │***│                                         │***│       │***│   │***│     │***│
     │***│    │***│              ┌───────────────────┐      │***│       │***│   │***│     │***│
     └───┘    └───┘              │  directRB change  │      └───┘       └───┘   └───┘     └───┘
               ║                 └───────────────────┘                              ▲
               ║                                                                    ║
               ▼                                                                    ║
                 nodeP                                                       nodeS
                 ┌───┐                                                       ┌───┐
           ┌─────│???│────┐                                           ┌──────│???│──────┐
           │     └───┘    │                                           │      └───┘      │
           │              │                                           │                 │
           │              │           ┌─────────────────────┐         │                 │
           ▼              │           │  indirectBT change  │       no▼eT             no▼eP
      nodeT nodeS       nodeX         └─────────────────────┘       ┌───┐             ┌───┐
        .─. ┌───┐         ┌┐           ══════════════════?      ┌───│███│───┐       ┌─│███│───┐
  ┌────(red││███││        ││                                    │   └───┘   │       │ └───┘   │
  │     `─‘│└───┘│        ├┘                                    │           │       │         │
  │        │     │        │                                     ▼           ▼       ▼         ▼
  ▼        ▼     ▼        ▼                                   ┌───┐       ┌───┐   ┌───┐     ┌───┐
┌───┐    ┌───┐ ┌───┐    ┌───┐                                 │███│       │███│   │???│     │███│ nodeR/X
│███│    │███│ │???│    │███│nodeR                            ├───┤       ├───┤   ├───┤     ├───┤
├───┤    ├───┤ ├───┤    ├───┤                                 │***│       │***│   │***│     │***│
│***│    │***│ │***│    │***│                                 │***│       │***│   │***│     │***│
│***│    │***│ │***│    │***│                                 │***│       │***│   │***│     │***│
│***│    │***│ │***│    │***│                                 └───┘       └───┘   └───┘     └───┘
└───┘    └───┘ └───┘    └───┘

BB-2R

情形2

被删除节点的父亲是红色,兄弟节点和侄子全部都是黑色。{:.warning}

  • 此时按照B树的观点来看,兄弟节点很瘦,不足以借出关键码,因此需要合并。而又因为P节点是红色,所以从上面节点下来
    也不会有影响,所以直接调整完毕
  • 按照RB树的观点来看。对于含有R节点的这条通路,少了一个黑色的节点X,多了个黑色节点P,因此第4条性质保持不变。
    对于含有S节点的通路来说,互换了通路上的一个红色和黑色节点。所以不会发生任何变化。
                       nodeP                                               nodeP           
                        .─.                                                ┌───┐           
            ┌ ─ ─ ─ ─ ─(red)─ ─ ─                               ┌ ─ ─ ─ ─ ─│███│─────┐     
                        `─‘      │                                         └───┘     │     
            ▼                    ▼                              ▼                    ▼     
     nodeS┌───┐           nodeX┌───┐                     nodeS  .─.         nodeR/X┌───┐   
     ┌────│███│────┐           │███│                     ┌──── (red)───┐           │███│   
     │    └───┘    │           └─┬─┘                     │      `─‘    │           ├───┤   
     ▼             ▼             ▼   ───────────?        ▼             ▼           │***│   
   ┌───┐         ┌───┐         ┌───┐                   ┌───┐         ┌───┐         │***│   
   │███│         │███│    nodeR│███│                   │███│         │███│         │***│   
   ├───┤         ├───┤         ├───┤                   ├───┤         ├───┤         └───┘   
   │***│         │***│         │***│                   │***│         │***│                 
   │***│         │***│         │***│                   │***│         │***│                 
   │***│   ║     │***│         │***│                   │***│         │***│                 
   └───┘   ║     └───┘         └───┘                   └───┘         └───┘                 
           ║                ┌───────────────────┐                                          
           ▼                │  directRB change  │                             ▲            
                            └───────────────────┘                             ║            
                                                                              ║            
           nodeP                                                              ║            
            .─.                                                                            
        ┌ ─(red)─ ─ ┐                                              nodeS nodeP             
            `─‘                                                      .─. ┌───┐┌┐ nodeX     
 nodeS  ▼           ▼nodeX                                      ┌───(red)│███│││──┐        
      ┌───┐         ┌┐          ┌─────────────────────┐         │    `─‘ └───┘└┘  │        
  ┌───│███│──┐      ││          │  indirectBT change  │         │          │      │        
  │   └───┘  │      ├┘          └─────────────────────┘         │          │      │        
  ▼          ▼      ▼            ══════════════════?            ▼          ▼      ▼        
┌───┐      ┌───┐  ┌───┐              ┌───────────┐            ┌───┐      ┌───┐  ┌───┐      
│███│      │███│  │███│nodeR         │   merge   │            │███│      │███│  │███│nodeR 
├───┤      ├───┤  ├───┤              └───────────┘            ├───┤      ├───┤  ├───┤      
│***│      │***│  │***│                                       │***│      │***│  │***│      
│***│      │***│  │***│                                       │***│      │***│  │***│      
│***│      │***│  │***│                                       │***│      │***│  │***│      
└───┘      └───┘  └───┘                                       └───┘      └───┘  └───┘      

BB-2B

情形3

当被删除节点的父亲为黑色时,且兄弟节点,侄子节点均为黑色,此时{:.warning}

  • 按照B树的观点来看,依然需要合并,但是这次将上一节点的唯一节点P拉了下来,因此将导致上层节点发生下溢。
  • 按照RB树的观点来看,无论是R通路还是S通路均少了一个黑色节点,因此需要继续向上调整。保证第4条性质不变。
                    nodeP                                               nodeP
                   ┌───┐                                                ┌───┐
         ┌─────────┤███├──────┐                              ┌ ─ ─ ─ ─ ─│███│─────┐
         │         └───┘      │                                         └───┘     │
         ▼                    ▼                              ▼                    ▼
  nodeS┌───┐           nodeX┌───┐                     nodeS  .─.         nodeR/X┌───┐
  ┌────│███│────┐           │███│                     ┌──── (red)───┐           │███│
  │    └───┘    │           └─┬─┘                     │      `─‘    │           ├───┤
  ▼             ▼             ▼   ───────────?        ▼             ▼           │***│
┌───┐         ┌───┐         ┌───┐                   ┌───┐         ┌───┐         │***│
│███│         │███│    nodeR│███│                   │███│         │███│         │***│
├───┤         ├───┤         ├───┤                   ├───┤         ├───┤         └───┘
│***│         │***│         │***│                   │***│         │***│
│***│         │***│         │***│                   │***│         │***│
│***│   ║     │***│         │***│                   │***│         │***│
└───┘   ║     └───┘         └───┘                   └───┘         └───┘    ▲
        ║                ┌───────────────────┐                             ║
        ▼                │  directRB change  │                             ║
            nodeP        └───────────────────┘                             ║
             ┌───┐
         ┌───│███│───┐                                          nodeS nodeP
         │   └───┘   │                                            .─. ┌───┐┌┐ nodeX
  nodeS  ▼           ▼nodeX                                  ┌───(red)│███│││──┐
       ┌───┐         ┌┐       ┌─────────────────────┐        │    `─‘ └───┘└┘  │
   ┌───│███│──┐      ││       │  indirectBT change  │        │          │      │
   │   └───┘  │      ├┘       └─────────────────────┘        │          │      │
   ▼          ▼      ▼         ══════════════════?           ▼          ▼      ▼
 ┌───┐      ┌───┐  ┌───┐           ┌───────────┐           ┌───┐      ┌───┐  ┌───┐
 │███│      │███│  │███│nodeR      │   merge   │           │███│      │███│  │███│nodeR
 ├───┤      ├───┤  ├───┤           └───────────┘           ├───┤      ├───┤  ├───┤
 │***│      │***│  │***│                                   │***│      │***│  │***│
 │***│      │***│  │***│                                   │***│      │***│  │***│
 │***│      │***│  │***│                                   │***│      │***│  │***│
 └───┘      └───┘  └───┘                                   └───┘      └───┘  └───┘

BB-3

情形4:

被删除节点的父亲为黑色,兄弟节点为红色{:.warning}

这是唯一一个有点,怎么说,不直接的情形

  • 按照B树的观点来看,并没有进行下溢操作,仅仅是简单的互换了Super节点的颜色。
  • 按照RB树的观点来看,将未知问题转化成为了我们之前遇到过的已知问题。此时被删除节点的父亲为红色,其
    兄弟节点为黑色,如果这个兄弟节点有红色儿子,将进入BB-1情形,如果没有,则进入BB-2R情形。幸运的是,
    无论哪种情况,都比较简单。
                    nodeP                                   nodeS                   
                   ┌───┐                                    ┌───┐                   
         ┌─────────┤███├──────┐                      ┌────  │███│─────────┐         
         │         └───┘      │                      │      └───┘         │         
         ▼                    ▼                      ▼                    ▼         
  nodeS .─.            nodeX┌───┐                  ┌───┐                 .─.nodeP   
  ┌ ─ ─(red)─ ─ ┐           │███│                  │███│           ┌────(red)────┐  
        `─‘                 └─┬─┘                  ├───┤           │     `─‘     │  
  ▼             ▼             ▼   ───────────?     │***│           ▼             ▼  
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      nodeS  nodeP                                           nodeS nodeP ║          
        .─.  ┌───┐                                           ┌───┐  .─.             
   ┌───(red)││███│────┐                                  ┌───│███││(red)────┐       
   │    `─‘ │└───┘    │       ┌─────────────────────┐    │   └───┘│ `─‘     │       
   ▼        ▼         ▼       │  indirectBT change  │    ▼        ▼         ▼       
 ┌───┐    ┌───┐      ┌┐       └─────────────────────┘  ┌───┐    ┌───┐      ┌┐       
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结论

上面无论哪种情形,被删除节点的拓扑变换都不会超过O(1)的时间复杂度。

平凡情形:

  • 被删除节点x和其后继r不是DoubleBlack,只要将r染成黑色添补x的空位即可。

BB-1 : 被删除节点的父亲节点颜色随意。兄弟节点为黑色,有不少于一个红色侄子节点

  • 重染色+旋转完成
  • B树意义上的旋转

BB-2R : 被删除节点的父亲节点为红色,兄弟节点,侄子节点皆为黑色

  • 重染色
  • B树意义上的合并

BB-2B : 被删除节点的父亲节点为黑色,兄弟节点,侄子节点皆为黑色

  • 重染色
  • B树意义上的合并,DoubleBlack冲突会向上传递

BB-3 : 被删除节点的父亲为黑色,兄弟节点为红色,侄子节点自然为黑色

  • 重染色
  • B树意义上的无任何变换
  • 情形转化为BB-1或者BB-2R

红黑树总结

学习红黑树的插入和删除,主要是明白为什么其只需要常数次拓扑变换就可以调整回来,即其到底比AVL树优秀在哪里。
并不是说去背诵它到底怎么插入,怎么删除。不难发现凡是可能造成连锁反应的操作,只会涉及染色这种操作。而
一旦涉及拓扑调整,最多俩次就调整完毕。





























































































以上是关于邓俊辉数据结构学习-8-3-红黑树的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

邓俊辉数据结构学习-8-1-伸展树

邓俊辉 《数据结构》笔记1 绪论

电子书||《数据结构(C++语言版)》(第三版)邓俊辉,清华大学出版社

《数据结构:邓俊辉版》——冒泡排序

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